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Suites réelles (MPSI)
Bonjour, je suis un eleve de classe prepa MPSI et j'ai un petit soucis avec un exercice, voici le probleme:
PARTIE 1: Un+1=Un + (Un^2)
Ici, il n'y a pas de probleme, on demande de montrer que (Un) est strictement positive et monotone et
qu'elle diverge vers +
. J'ai posé Un+1=f(x) et j'ai fait l'etude de la fonction.
PARTIE 2: Soit la suite (Vn), 
n 
,
Vn=(1/2n)*ln(Un)
J'ai montré que (n,k)2,
(#): 0 < Vn+k+1-Vn 
(1/2n)*ln(1+1/Un)
A partir de la question suivante je suis bloqué,
- Démontrer que la suite (Vn) est majorée, puis qu'elle converge vers un réel noté 
.
- Montrer que n , Un exp(*2n).
En pasant à la limite, pour n fixé, dans l'encadrement (#) montrer que:
n exp(*2n) 1 + Un
En deduire l'equivalent suivant lorsque n
+:
Un ~ exp(*2n)
- On pose n , 
n=exp(*2n) - Un
Montrer que (n) est bornée et qu'elle verifie la relation suivante:
n , 2*n - 1 =(n+1 + (n)^2 - n)*exp(-*2n)
- Prouver que Un=exp(*2n) - 1/2 + o(1)
Merci d'avance.
Bonsoir,
Pour démontrer que la suite (Vn) est majorée, tu peux essayer la méthode du télescopage des Vn+1-Vn :
Tu commence par majorer ln(1+1/Un), ce qui n'est pas très difficile puisque Un est divergente.
A partir d'un certain rang, tu as par exemple Un > 1 donc ln(1+1/Un) < ln(2)
Donc
0 < Un+1-Un < (1/2n)ln(2)
0 < Un-Un-1 < (1/2n-1)ln(2)
...
0 < U1-U0 < (1/20)ln(2)
Et en additionnant tout ce petit monde, les Ui intermédiaires s'annulent - c'est ça qu'on appelle le télescopage - et il te reste :
0 < Un+1-U0 < (1 + 1/2 + 1/4 +... +(1/2n))ln(2)
Je te laisse faire la somme de cette série de puissances, tu sais qu'elle converge car sa raison est 1/2, et tu en déduis la majoration cherchée
d'accord,et comment est-ce que je peux calculer la somme de ces termes avec la formule d'une suite geometrique?
Sn = 
zk= 1 + z + z2 + ... + zn
Je vois pas comment faire cette somme.
et en faisant le calcul de cette somme, on peut dire que la suite Vn tend vers sa borne superieure qui est (1 + 1/2 + 1/4 +... +(1/2n))ln(2) ??
Mais si tu sais, cette somme est une somme de puissances, elle est apprise en Terminale.
Elle vaut (1-zn+1)/(1-z)
Pour |z| < 1, ce qui est le cas ici puisque tu as |z| = 1/2, elle converge vers 1/(1-z)
Tu peux la redémontrer en calculant zSn puis zSn-Sn
ok d'accord, moi j'ai utilisé la formule et je trouve cet encadrement 0 < Un+1-U0 < (2-(1/2)^n)*ln(2)
il est necessaire que je passe à la limite de de la somme (1-(1/2)^(n+1))/(1-1/2)=(2-(1/2)^n) qui est egale à 2, ou je peux dire tout de suite que (Vn) tend vers le reel =(2-(1/2)^n)*ln(2) ?
Tout ce que tu peux dire, c'est que lim Vn existe, on peut l'appeler , et V0 + K, avec K = ln(1+1/U0)
J'avais dit dans les posts précédents que, puisque Un diverge, à partir d'un certain rang on a Un > 1. Maintenant, si on veut raisonner plus finement sur la majoration, elle dépend en fait de U0. Si U0 est très petit, disons e-1000, alors ln(1+1/U0)
1000...
Donc on s'en tient à lim Vn existe, on peut l'appeler , et on ne peut rien en dire de plus pour l'instant.
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