Niveau Maths sup

suites, Séries

Posté par
ferenc 26-12-11 à 14:11

Bonjour,
Montrer que si $\lim_{n\to\infty}x_{2n}=\lim_{n\to\infty}x_{2n+1}=\ell$ alors $\lim_{n\to\infty}x_n=\ell$

je sais que ce n'est pas difficile, mais ma façon de procéder est un peu différente de mon corrigé et je voulais avoir votre avis !
Soit $\epsilon>0$
$\bullet$ $\lim_{n\to\infty}x_{2n}=\ell,\exists M:|x_{2n}-\ell|<\epsilon$ si $n>M$
$\bullet$ $\lim_{n\to\infty}x_{2n+1}=\ell,\exists P:|x_{2n}-\ell|<\epsilon$ si $n>P$

Ainsi, si $k=2n$ on a que $|x_k-\ell|<\epsilon$ si $k>2M$
Si $k=2n+1$ on a que $|x_k-\ell|<\epsilon$ si $k>2P+1$

Puisque $\{x_n\}_{n=0}^\infty=\{x_{2n}\}_{n=0}^\infty\cup\{x_{2n+1}\}_{n=0}^\infty$ en posant $N=\max\{2M,2P+1\}$ on a que $|x_n-\ell|<\epsilon,\forall n>N$ , d'où le résultat

-----------
Ce qui me gêne c'est surtout la dernière ligne, je vois bien que à partir d'un certain rang $N$ , $]\ell-\epsilon,\ell+\epsilon[$ contient tout les termes de la suite, mais je vois pas comment le dire.

Une phrase du style "Puisque $\{2n|n\in\N\}\cup\{2n+1|n\in\N\}=\N$ on a que si $n>\max\{2M,2P+1\}$ alors $|x_n-\ell|\leq\epsilon$ "

merci

Posté par re : suites, Séries 26-12-11 à 14:24

Effectivement, il faut bien préciser que c'est parce que les entiers pairs et impairs forment une partition de N.

Le résultat serait faux par exemple en remplaçant x(2n) et x(2n+1) par x(3n) et x(3n+1)

Posté par re : suites, Séries 26-12-11 à 14:26

ok merci !!!

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