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Sum 1/k^2

Posté par
JoaoAgostinho 20-09-20 à 10:57

Bonjour, je rencontre quelques difficultés sur un exercice, le voici :

" l'objectif de cet exercice est de calculer 1/k^2 pour k=1 jusqu'à +oo.

(A) on considère la fonction : [0,π][0,π] définie par (t) =(t(π-t))/(πsin(t)) si t]0,π[
(t)=1 si t{0,π}
Montrer que est continue sur [0,π].

(B) calculer t(π-t)cos(2kt)dt de 0 à π pour k

(C) montrer que pour n*, on a 1/k^2 de k=1 jusqu'à n = (π^2)/6- (t)sin((2n+1)t)dt de 0 à π.

(D) montrer que la série 1/k^2 pour k1  est convergente, et que 1/k^2  de k=1 jusqu'à +oo = (π^2)/6. "


Pour la (a) j'ai utiliser les limites pour montrer la continuité en 0 et pi.

(B) j'ai calculé l'intégrale par intégration par partie, on tombe sur 1/k^2 si je n'ai pas fais d'erreur.

(C) je bloque, je ne vois pas comment montrer cette égalité. Je pensais calculer l'intégrale de 0 à π de phi(t)sin((2n+1)t)dt  mais ça ne le paraît pas évident par IPP. Et je ne vois pas comment utiliser le résultat de la question précédente.

(D) pour la convergence je sais comment faire, mais pour démonter l'égalité je pense utiliser la question précédente.


Si vous pouvez me guider un peu, j'en serais ravi, merci à vous

Bon dimanche

Posté par
lionel52re : Sum 1/k^2 20-09-20 à 11:44

Hello!

Que vaut sin(x)+sin(2x)+....sin(nx) ?

Posté par
lionel52re : Sum 1/k^2 20-09-20 à 11:45

Pardon cos(x)+...cos(nx)

Posté par
JoaoAgostinhore : Sum 1/k^2 21-09-20 à 12:31

Bonjour lionel52,

cos(kx) pour k=1 jusqu'à n = [sin((nx)/2)×cos(((n+1)x)/2)]/sin(x/2)

Je crois avoir compris merci j'essaye ce soir et je vous tiens au courant.

Merci beaucoup.

Bonne journée

Posté par
JoaoAgostinhore : Sum 1/k^2 22-09-20 à 09:24

Bonjour, je suis toujours bloqué sur cet exercice :/

Voilà ce que j'ai fais : \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k^2}}=\sum_{k=1}^{n}\int_{0}^{pi}{t(pi-t)cos(2kt)dt} pour tout k

Ainsi \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k^2}}=\int_{0}^{pi}{t(pi-t)\sum_{k=1}^{n}cos(2kt)dt}
On calcule la somme de cos(2kt) avec l'exponentielle :
\sum_{k=1}^{n}e^{2it}=\frac{1-e^{2nit+1}}{1-e^{2it}}-e^{0}
d'où \sum_{k=1}^{n}e^{2it}=\frac{1-e^{2nit+1}-(1-e^{2it})}{1-e^{2it}}
\sum_{k=1}^{n}e^{2it}=\frac{e^{2it}-e^{2nit+1}}{1-e^{2it}}
Ainsi en factorisant : \sum_{k=1}^{n}e^{2it}=\frac{e^{it}-e^{it(2n+1)}}{e^{-it}-e^{it}}
On a :e^{-it}-e^{it}=cos(t)-isin(t)-cos(t)-isin(t)=-2isin(t)
et e^{it}-e^{it(2n+1)}=cos(t)+isin(t)-cos(t(2n+1))-isin(t(2n+1))
e^{it}-e^{it(2n+1)}=cos(t)-cos(t(2n+1))+i(sin(t)-sin(t(2n+1)))

D'où par identification \sum_{k=1}^{n}cos(2kt)=cos(t)-cos(t(2n+1))

Mes calculs sont ils corrects ?


Merci
Cordialement Joao

Posté par
lionel52re : Sum 1/k^2 22-09-20 à 10:53

Pour t = 0, tu aurais la somme qui vaut 0. Alors qu'elle vaut n. Donc non.

\sum_0^n e^{2ikt} =  \sum_0^{n} e^{2ikt} = \dfrac{1 - e^{2i(n+1)t}}{1 - e^{2it}}

Et comme habituellement, en factorisant par l'angle moitié ...

\dfrac{1 - e^{2i(n+1)t}}{1 - e^{2it}} = e^{it}\dfrac{sin((n+1)t)}{sin(t)}

Posté par
Pirhore : Sum 1/k^2 22-09-20 à 11:04

Bonjour,

je ne fais que passer, ce n'est pas plutôt  

\dfrac{1 - e^{2i(n+1)t}}{1 - e^{2it}} = e^{i\textcolor{red}{n}\,t}\dfrac{sin((n+1)t)}{sin(t)}

Posté par
JoaoAgostinhore : Sum 1/k^2 22-09-20 à 12:22

Oups je viens de voir que j'ai oublié un puissance k, c'est somme de e^((2it)^k) et non somme de e^(2it).


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