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Sup d une fonction definie par une intégrale

Posté par mat671 (invité) 29-03-06 à 13:25

Bonjour,
je bloque sur une question :
Soit E l'ensemble des fonctions continues sur [0,1] à valeurs dans ]0,[.
Pour f E, on pose :
I(f) = 01 dt/f(t) * 01 f(t) dt

J'ai réussi à trouver inf I(f), mais je n'arrive pas à determiner
sup I(f) : j'ai l'impression qu'il n'existe pas : comment le prouver ?

Je vous remercie d'avance

Posté par ptitjean (invité)re : Sup d une fonction definie par une intégrale 29-03-06 à 13:39

je dis peut etre un erreur mais en prenant la fonction 1/(1-t)-1, on peut voir que I(f) n'existe pas... (l'intégrale tend vers +inf en 0)...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Sup d une fonction definie par une intégrale 29-03-06 à 14:12

Attention ptitjean E est l'ensemble des fonctions continues et strictement positives sur [0,1] et la fonction \fbox{t\to\frac{1}{1-t}-1=\frac{t}{1-t}} n'est pas dans E.
En utilisant l'inégalité de Cauchy-Swartz pour les intégrales on voit que
\fbox{\forall f\in E\\1=\int_{0}^{1}\sqrt{f(t)}\frac{1}{\sqrt{f(t)}}dt\le\sqrt{(\int_{0}^{1}f(t)dt)(\int_{0}^{1}\frac{1}{f(t)}dt)}=\sqrt{I(f)}} d'où \fbox{\forall f\in E\\I(f)\ge1} la fonction \fbox{f_0{:}[0,1]\to\mathbb{R}\\x\to1} (qui est bien dans E) vérifiant \fbox{I(f_0)=1} on voit que 3$\blue\fbox{\inf_{f\in E}I(f)=\min_{f\in E}I(f)=1}.
Pour \fbox{a>0} la fonction \fbox{f_a{:}[0,1]\to\mathbb{R}\\x\to x+a} (qui est bien dans E) vérifie 3$\fbox{I(f_a)=ln(1+\frac{1}{a})(\frac{1}{2}+a)} et on voit bien que 3$\fbox{\lim_{a\to+\infty}I(f_a)=+\infty} d'où 4$\blue\fbox{\sup_{f\in E}I(f)=+\infty}.
Sauf erreurs bien entendu

Posté par ptitjean (invité)re : Sup d une fonction definie par une intégrale 29-03-06 à 16:21

héhé effectivement, j'avais occulté le coté continu de l'ensemble des fonctions

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