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[SUP] Equation différentielle & Changement de variable

Posté par
gui_tou 07-10-07 à 18:31

Re-Bonjour à tous

Demain, en DS, j'aurai une équa diff qui ressemblera beaucoup à celle-ci (Dixit le prof).
Mais ce n'est pas fameux, je ne vois pas très bien comment aborder la première question.

Voici l'énoncé complet :

Citation :
1. Soit (E) : 4$\rm x^2y''+y=0. Résoudre (E) sur 3$\mathbb{R^{\ast}_{+} en posant :  3$ \rm \forall x\in \mathbb{R^{\ast}_{+} , 3$ \rm t=\ln x , 3$ \rm y(x)=z(t)

On pourra exprimer 4$ \rm x\frac{dy}{dx} , 4$ \rm x^2\frac{d^2y}{dx^2} en fonction de 4$ \rm \frac{dz}{dt} , 4$ \rm \frac{d^2z}{dt^2}.

2. Déterminer les fonctions f de classe \mathcal{C^1 sur \mathbb{R^{\ast}_{+} telles que :  3$ \rm \forall x\in \mathbb{R^{\ast}_{+} , 3$\rm \fbox{f'(x)=f\big(\frac{1}{x}\big)


Pour la question 1. j'ai ceci :

4$ \rm x\frac{dy}{dx}=\frac{dz}{dt}     et    4$ \rm x^2\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{dz}{dt}+x\frac{d^2z}{dt^2}

Si je comprends bien, (E) devient

4$\rm -\frac{dz}{dt}+x\frac{d^2z}{dt^2}+\frac{1}{x}\frac{dz}{dt}=0

soit encore

4$ \blue \fbox{(E) \;: \;\rm xz'' + \big(\frac{1}{x}-1\big)z'=0

Est-ce que là je dois diviser tout par z, pour récupérer un modèle du cours ?
Ainsi tomberais-je sur

(Ê) : 4$ \fbox{\rm z''+\big(1-\frac{1}{x}\big)z'=0


Merci beaucoup de votre aide

En attendant je creuse la piste du (Ê)

Posté par
gui_toure : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 18:42

Encore que je ne suis pas sûr d'avoir correctement exprimé 3$\rm x^2\frac{d^2y}{dx^2}

Posté par
infophilere : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 18:49

Hello

x²y'' + y = 0

t = ln(x) <=> x = e^t

y(x) = y(e^t) = z(t)

z'(t) = e^y  * y(e^t) = x * y(x)

z''(t) = e^y * y(e^t) + e^(2t) * y(e^t) = x*y(x) + x²*y(x)

Donc x²y'' + y = 0 <=> z''(t) - z'(t) + z(t) = 0

Posté par
gui_toure : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 18:51

Merci Kévin

Posté par
infophilere : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 18:53

De rien

Bon c'est parti pour 13 questions d'optiques sur le microscope

J'ai même pas réussi à terminer mon DM, pff !

Posté par
gui_toure : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 18:55

Si tu as un problème, poste

Sinon comment trouves-tu z'(t) = e^y  * y(e^t) = x * y(x) ?

Posté par
infophilere : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 19:00

Non ça m'énerve de poster

Tu dérives une fonction composée

Posté par
gui_toure : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 19:02

Oui je sais : 3$ \rm (gof)'(x)=f'(x)\times g'(f(x))

Mais avec y(e^t), on devrait avoir e^t * y'(e^t), non ?

Si tu dois allez bosser, file

Posté par
infophilere : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 19:21

oui oui pardon

j'vais manger :p

Posté par
gui_toure : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 20:50

On a donc

y solution de (E) \Leftrightarrow z solution de (E') : 4$\red \rm z''(t)-z'(t)+z(t)=0

(\mathcal C) : 3$\rm \lambda^2-\lambda+1=0 est l'équation caractéristique associée à (E').
3$\rm \Delta = 1-4=-3

3$ \{ \lambda_1=\frac{1}{2}-i\frac{sqrt3}{2} \\ \lambda_2=\frac{1}{2}+i\frac{sqrt3}{2}

Les solutions de (E') sont toutes de la forme :

3$\rm \fbox{y(x)=e^{\frac{1}{2}x}\Big[\alpha.\cos\big(\frac{sqrt3}{2}\big)+\beta\sin\big(\frac{sqrt3}{2}\big)\Big] \\\ x\in \mathbb{R} , (\alpha,\beta)\in \mathbb{R}^2

Non ?

Posté par
gui_toure : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 20:57

Arf mauvaise notation

4$\rm \fbox{z(t)=e^{\frac{1}{2}t}\Big[\alpha.\cos\big(t\frac{sqrt3}{2}\big)+\beta\sin\big(t\frac{sqrt3}{2}\big)\Big]%20\\\ t\in \mathbb{R} , (\alpha,\beta)\in \mathbb{R}^2

Mais comme y(x)=z(t) , on a quand même bien

4$\blue \rm \fbox{y(x)=e^{\frac{1}{2}x}\Big[\alpha.\cos\big(x\frac{sqrt3}{2}\big)+\beta\sin\big(x\frac{sqrt3}{2}\big)\Big]%20\\\ x\in \mathbb{R^{\ast}_+} , (\alpha,\beta)\in \mathbb{R}^2

Confirmation ?

Posté par
infophilere : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 20:59

Non n'oublie pas que t = ln(x)

Posté par
gui_toure : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 21:03

Mais comme z(t)=y(x) je pensais juste remplacer z par y et t par x

Ca donnerait ...
4$\blue%20\rm%20\fbox{y(x)=x^{sqrt e}\Big[\alpha.\cos\big(\ln x\frac{sqrt3}{2}\big)+\beta\sin\big( \ln x\frac{sqrt3}{2}\big)\Big]%20\\\%20x\in%20\mathbb{R^{\ast}_+}%20,%20(\alpha,\beta)\in%20\mathbb{R}^2



Désolé, je suis pitoyable

Posté par
infophilere : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 21:06

Euh non parce que z et y ne sont pas les mêmes fonctions !

Et e^(1/2ln(x)) = e^(1/2)*e^(lnx) = x.rac(e)

J'ai pas vérifié mes & tes calculs mais la méthode est celle-ci.

Posté par
gui_toure : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 21:11

Tu es sûr de ça ?

Citation :
Et e^(1/2ln(x)) = e^(1/2)*e^(lnx) = x.rac(e)


C'est pas

3$\rm e^{a+b}=e^a \times e^b \\ e^{ab}={(e^a)}^{b}={(e^b)}^{a}

?



Et sinon pour les fonctions je ne vois pas trop ce qu'il faut faire..

Posté par
infophilere : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 21:15

Oula c'est pas bon de faire deux choses à la fois

Qu'est-ce que tu ne comprends pas ?

Posté par
gui_toure : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 21:21

Ba on a y(x)=z(t) donc logiquement (pour moi en tout cas),

si z(t)=qqchose alors y(x)=ce qqchose

Après que tu m'aies fait la remarque

Citation :
Non n'oublie pas que t = ln(x)


J'ai remplacé t par ln(x) dans l'expression de z.

Posté par
infophilere : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 21:25

Et bien oui y(x)=z(t)=e^(1/2t)*[...etc

Mais tu veux y en fonction de x, donc comme t = ln(x), tu remplaces

Posté par
gui_toure : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 21:36

Donc ce serait ce que j'ai mis à 21h03 ?

Posté par
infophilere : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 21:38

Oui

Posté par
gui_toure : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 21:45

Et tu ne pouvais me le dire avant

Posté par
infophilere : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 21:50

Posté par
Marie-Cre : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 22:04

salut à tous les deux
gui-tou et ce DS d'optique, ça donne quoi?
en forme?
Désolée de "polluer" ton topic

Posté par
gui_toure : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 22:06

Salut Marie-C

Je le récupère demain après-midi

Tu savais que Kévin adorait l'optique ? Fonctions

Posté par
infophilere : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 22:11

C'était ironique

Salut Marie

Posté par
Marie-Cre : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 22:12

salut
Moi aussi, j'adore l'optique (comme quelqu'un qui a eu 5 à son DS et encore parce que le prof était sympa, sinon, j'aurais eu 3)

Posté par
gui_toure : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 22:13

Waouh 5 bravo

Si je dépasse le 10, j'invite Marianne au resto

Posté par
Marie-Cre : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 22:17

T'es direct et rapide, dis donc!

Posté par
gui_toure : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 22:18

Je ne risque pas grand-chose

Posté par
infophilere : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 22:18

Je note guitou

DS d'optique mercredi moi

Posté par
Marie-Cre : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 22:20

bon courage

Posté par
Marie-Cre : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 22:20

Je prierai pour toi!!

Posté par
gui_toure : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 22:22

Good luck Kév'

4$\rm\fbox{Soit (E) : x^2y''+y=0. Les solutions de E sont toutes de la forme \\ \\y(x)=x^{sqrt%20e}\Big[\alpha.\cos\big(\ln%20(x)\frac{sqrt3}{2}\big)+\beta\sin\big(%20\ln(x)\frac{sqrt3}{2}\big)\Big]%20\\\%20x\in%20\mathbb{R^{\ast}_+}%20,%20(\alpha,\beta)\in%20\mathbb{R}^2

Juste ?

Posté par
infophilere : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 22:22

J'en aurai besoin, de la chance aussi

Posté par
infophilere : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 22:23

Vérifie avec Maple (ou ton autre truc là ^^)

Posté par
gui_toure : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 22:27

L'autre truc c'est MuPAD

Tout à l'heure il me semble qu'il me donnait une solution hyper compliquée et maintenant : {0}

Posté par
infophilere : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 22:29

C'est pour demain ? noté ?

La je dois partir

Posté par
gui_toure : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 22:31

C'est pour lundi prochain, en DM, mais ce sera un exo de ce type demain.

Il n'y a pas de mal, tu as le droit de dormir

Bonne nuit Kévin

Posté par
Marie-Cre : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 22:40

Gute Nacht!!!
Bis bald

Posté par
gui_toure : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 07-10-07 à 23:07

La question 2 pour demain

Bonne nuit à tous

Posté par
gui_toure : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 14-10-07 à 16:16

Pour la deuxième question, je trouve que les fonctions de classe C^1 sur 4$ \rm \mathbb{R^{\ast}}_+ , telles que f'(x)=f \Big(\frac{1}{x}\Big) sont les mêmes que les y(x) de la première question, à savoir

4$\rm\fbox{f(x)=sqrt x\Big[\alpha.\cos\big(\ln%20(x)\frac{sqrt3}{2}\big)+\beta\sin\big(%20\ln(x)\frac{sqrt3}{2}\big)\Big]%20\\\%20x\in%20\mathbb{R^{\ast}_+}%20,%20(\alpha,\beta)\in%20\mathbb{R}^2

f' doit être continue, et c'est le cas me semble-t-il.

Y a-t-il une erreur ?

Posté par
gui_toure : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 16-10-07 à 22:11

Oui Guitou, mais attention, tu dois vérifier si f(1/x) et f'(x) sont identiques, et ce n'est pas le cas
Ainsi alpha et beta porteront une contrainte : alpha=V3 x beta

Posté par
moominre : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 16-10-07 à 22:16

Tu te parles maintenant ?

Posté par
gui_toure : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 16-10-07 à 22:19

C'est juste que je voulais trouver une manière originale de signaler que je m'étais planté, j'ai eu le corrigé aujourd'hui

Posté par
infophilere : [SUP] Equation différentielle & Changement de variable 17-10-07 à 06:35


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