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Niveau Maths sup
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[Sup] Fonction harmonique sur une couronne, ln |z|

Posté par
Niels 09-05-07 à 18:15

Bonjour,

J'ai quelques difficultés sur la deuxième question de cet exercice d'Analyse complexe :

Soient r<R deux réels positifs et soit \Omega le domaine défini par : \{z\in\mathbb{C}\ :\ r<|z|<R\}.

1) Trouver toutes les fonctions f\,:\,\left]r^2,R^2\right[ \to \mathbb{R} de classe C^2 telles que la fonction u\,:\,\Omega\to\mathbb{R} définie par u(x,y)=f\left(x^2+y^2\right) est harmonique sur \Omega.

Rappel :

u\,:\,\Omega\to\mathbb{R} \text{ harmonique ssi } 0=\Delta u\,\left(= \frac{\partial^2 u}{\partial^2 x} + \frac{\partial^2 u}{\partial^2 y}\right).

J'ai résolu cette question sans problème :

Il s'agit des fonctions définies par :

f(t)=k \ln |t| où k est une constante réelle arbitraire.

2) Soit u\,:\,\Omega\to\mathbb{R} harmonique sur \Omega.

On pose v(z)=\int\limits_{0}^{2\pi}{u\left(z e^{it}\right)~\text{d}t}.

Montrer qu'il existe des constantes \lambda, \mu \in \mathbb{R} telles que v(z)=\lambda~\ln |z| + \mu.

C'est sur cette question (dont je trouve l'énoncé étrange, d'ailleurs), que j'aimerais que vous m'aidiez.

Merci d'avance.
Cordialement,
Erik.

Posté par
kaiser Moderateurre : [Sup] Fonction harmonique sur une couronne, ln |z| 09-05-07 à 18:51

Bonjour Erik

Pour la 1), je crois que tu as oublié une constante additive (d'où la deuxième question).
D'ailleurs, que trouves-tu étrange dans la question 2 ?
C'est en fait une simple application de la question 1 (il suffira alors de montrer quelque chose sur v).

Kaiser

Posté par
Nielsre : [Sup] Fonction harmonique sur une couronne, ln |z| 09-05-07 à 20:45

Bonjour Kaiser,

Voici ce qui me chagrine :

À la question (1), nous avons donc montré que u\,:\,(x,y)\mapsto f\left(x^2+y^2\right) est harmonique si et seulement si f(t) = \lambda~\ln |t| + \mu, ou \lambda et \mu sont des constantes réelles.

Mais si l'on remplace, on obtient :

u(x,y) = \lambda~\ln\left(x^2+y^2\right) + \mu, soit :

u(z) = \lambda~\ln\left(|z|^2\right) + \mu,

alors que dans la question (2) en revanche, on parle de :

v(z) = \lambda~ln |z| + \mu !

J'attends vos lumières sur cette affaire...

Cordialement,
Erik.

Posté par
kaiser Moderateurre : [Sup] Fonction harmonique sur une couronne, ln |z| 09-05-07 à 20:50

oui mais \Large{|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}} donc \Large{\lambda \ln|z|+\mu=\frac{\lambda}{2}\ln(x^{2}+y^{2}))+\mu=f(x^{2}+y^{2})}

avec \Large{f(t)=\frac{\lambda}{2}\ln|t|+\mu}

Kaiser

Posté par
Nielsre : [Sup] Fonction harmonique sur une couronne, ln |z| 10-05-07 à 15:12

Effectivement, le log se comporte très bien avec les puissances.

Mais je reste dubitatif quant à la deuxième question :

On nous dit :

2) Soit u\,:\,\Omega\to\mathbb{R} harmonique sur \Omega.

On pose v(z)=\int_{0}^{2\pi}{u\left(z e^{it}\right)~\text{d}t}.

Et on cherche à montrer qu'il existe des constantes \lambda, \mu \in \mathbb{R} telles que v(z)=\lambda~\ln |z| + \mu.

Il me semble qu'il n'y ait pas moyen de se ramener facilement à la première question où on a montré que :

w\,:\,(x,y)\mapsto f\left(x^2+y^2\right) est harmonique si et seulement si f(t) = \lambda~\ln |t| + \mu, ou \lambda et \mu sont des constantes réelles.

En effet, on voudrait appliquer ce résultat à w\,:=\,v, mais non seulement on ne sait pas si v est harmonique, mais surtout il n'y a pas de raison que v(z)=\int_{0}^{2\pi}{u\left(z e^{it}\right)~\text{d}t} s'écrive sous la forme v\left(x^2+y^2\right) !

Ou du moins, ça ne me semble pas immédiat de le montrer. Si jamais vous aviez une astuce, n'hésitez pas à m'en faire part.

Mais jusqu'à nouvel ordre, je vais faire l'hypothèse que les deux questions sont indépendantes.

Alors, pensez qu'on va devoir utiliser notre hypothèse, qui dit que la fonction u qui est sous l'intégrale est harmonique sur \Omega = \{z\in\mathbb{C}\ :\ 0 \leq r < |z| < R\}.

Donc avez-vous une idée pour montrer que :

{0=\Delta u\,\left(= \frac{\partial^2 u}{\partial^2 x} + \frac{\partial^2 u}{\partial^2 y}\right)}\;\Longrightarrow\;{\exists \lambda,\mu\in\mathbb{R}\ :\ \forall z\in\Omega\ v(z) = \int_{0}^{2\pi}{u\left(z e^{it}\right)~\text{d}t} = \lambda~\ln |z| + \mu} ?

Faut-il calculer l'intégrale, ou plutôt dériver partiellement sous le signe somme par rapport à x et y ?
Merci pour toutes vos suggestions !
Cordialement,
Erik.

Posté par
kaiser Moderateurre : [Sup] Fonction harmonique sur une couronne, ln |z| 10-05-07 à 15:17

Je t'assure que les deux questions on bel et bien un rapport.

à l'aide d'un changement de variable dans l'intégrale et en écrivant z sous forme exponentielle, montre que v(z)=v(|z|).

Sinon, il faut effectivement dériver sous le signe somme, afin de montrer que v est harmonique.

Kaiser

P.S : je préfère que l'on me tutoie !

Posté par
Nielsre : [Sup] Fonction harmonique sur une couronne, ln |z| 10-05-07 à 22:01

Merci beaucoup pour ton aide, Kaiser !

Je suis en train de réfléchir comment dériver proprement sous l'intégrale (c'est-à-dire en justifiant avec un théorème classique, sur les intégrales à paramètre). D'ailleurs ça me pose certains problèmes, comme tu peux le voir dans la Discussion que je viens de lancer (cf. https://www.ilemaths.net/forum-sujet-138357.htm).

Mais en tout cas, pour ce qui est de la suite de mon exercice, je pense pouvoir le conduire jusqu'au bout.

Merci encore pour ton aide.

Bonne soirée !
Cordialement,
Erik.

Posté par
kaiser Moderateurre : [Sup] Fonction harmonique sur une couronne, ln |z| 10-05-07 à 22:14

Mais je t'en prie !

Posté par
Nielsre : [Sup] Fonction harmonique sur une couronne, ln |z| 14-05-07 à 09:58

Bonjour tout le monde !

Grâce à votre aide, j'ai pu progresser dans mon exercice. Il ne me reste plus qu'à montrer que v est harmonique. C'est sur ce point que j'aurais besoin d'un petit coup de pouce.

Voici ce que j'ai fait :

J'ai défini \begin{array}{ccrcl} \\ Z & : & \mathbb{R}^3 & \to & \mathbb{R}^2 \\ \\ & & (x,y,t) & \mapsto & (x+iy)\,e^{it}. \\ \end{array}

Puis j'ai posé P = \Re e (Z) et Q = \Im m (Z).

Alors Z = P+iQ avec :

P(x,y,t) = x\, \cos t\ -\ y\, \sin t,

et Q(x,y,t) = x\, \sin t\ +\ y\, \cos t.

Enfin, par commodité j'ai posé :

w(x,y,t) = u(P(x,y,t),\,Q(x,y,t)) \; \text{ et ce } \; \forall t\in[0,2\pi] \ \forall (x,y)\in\Omega=\{z\in\mathbb{C}\ :\ r<|z|<R\}.

(Autrement dit : \Large{w=u \circ Z}).

Rappel : on s'intéresse à la fonction v\,:\,\Omega \to \mathbb{R} définie par :

v(x,y) = \int_0^{2\pi}{u((x+iy)\,e^{it})\text{~d}t} = \int_0^{2\pi}{w(x,y,t)\text{~d}t}.

Il s'agit de montrer que v est harmonique sur \Omega.

Pour ce faire, comme vous me l'avez confirmé, il faut dériver sous le signe intégrale. Mais je ne sais pas comment le rédiger proprement.

D'abord, j'ai calculé toutes les dérivées partielles utiles de w (par rapport à x et y) et j'ai trouvé :

\frac{\partial w}{\partial x} = \cos t\, \frac{\partial u}{\partial x}\circ Z \ +\ \sin t\, \frac{\partial u}{\partial y}\circ Z \ ;

\frac{\partial w}{\partial y} = -\sin t\, \frac{\partial u}{\partial x}\circ Z \ +\ \cos t\, \frac{\partial u}{\partial y}\circ Z \ ;

\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} = \cos^2 t\, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \circ Z\ +\ \cos t\, \sin t\, \left(\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} \circ Z \ + \ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \circ Z \right)\ +\ \sin^2 t\, \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \circ Z\ ;

\frac{\partial^2 w}{\partial y^2} = \sin^2 t\, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \circ Z\ -\ \sin t\, \cos t\, \left(\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} \circ Z \ + \ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \circ Z \right)\ +\ \cos^2 t\, \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \circ Z\ .

Mais ces dérivées ayant été calculées, il faut justifier pourquoi on peut dériver sous le signe intégrale, n'est-ce-pas ? Alors j'ai cherché dans mon livre de référence et j'ai trouvé le théorème suivant, dont les hypothèses me semblent bien restrictives :


Soient A,I deux intervalles de \mathbb{R} et soit f\,:\,A\times I\to\mathbb{K}.

Si les conditions suivantes sont satisfaites :

i)  f(x,\cdot)\in L^1(I,\mathbb{K})\ ;

ii)  \frac{\partial f}{\partial x}(\cdot, t) \in \mathcal{C}(A, \mathbb{K})\ ;

iii)  \frac{\partial f}{\partial x}(x, \cdot) \in \mathcal{CM}(I, \mathbb{K})\ ;

iv)  \exists \varphi\in L^1(I, \mathbb{R}_+)\ /\ \forall(x,t)\in A\times I,\ \left| \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \right| \leq \varphi(t) (hypothèse de domination) ;

Alors \frac{\partial f}{\partial x}(x, \cdot) est intégrable sur I et la fonction g définie sur A par

g(x) = \int_I\ {f(x,t)\,\text{d}t}

est de classe \mathcal{C}^1 sur A et on a :

g'(x) = \int_I\ {\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,\text{d}t}.


Que pensez-vous de ce théorème ? En connaissez-vous d'autres, plus simples ?

Croyez-vous qu'on peut arriver à vérifier toutes les hypothèses pour f = w(\cdot,y,\cdot), puis pour f = \frac{\partial w}{\partial x}(\cdot,y,\cdot) ?

Merci d'avance pour vos suggestions...

Posté par
kaiser Moderateurre : [Sup] Fonction harmonique sur une couronne, ln |z| 14-05-07 à 11:19

Bonjour Niels

Effectivement, il faut utiliser ce théorème : il s'agit du théorème de dérivation de Lebesgue (c'est un corollaire du théorème de convergence dominée).
Bref, à moins de le redémontrer, je crois qu'on a pas le choix : il faut l'utiliser et il n'y a pas vraiment d'autre moyen.
D'ailleurs, cela m'étonne un peu que ce résultat ne te dise rien.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : [Sup] Fonction harmonique sur une couronne, ln |z| 14-05-07 à 11:24

D'ailleurs, à ce propos : à quel niveau étudie-tu ?
ton profil indique licence (licence 3 je suppose car tu fais de l'analyse complexe) mais ce topis est indiqué niveau sup.

Kaiser

Posté par
Nielsre : [Sup] Fonction harmonique sur une couronne, ln |z| 14-05-07 à 11:49

Merci Kaiser pour tes précisions,

Je suis effectivement en licence 3 de Mathématiques,

Mais malheureusement ce théorème de dérivation ne figure pas dans mon cours.

D'où mes hésitations quant à la "validité" de ce théorème, que j'ai d'ailleurs trouvé dans un livre de mathématiques spéciales (Maths sup/maths spé).

Permets-moi de reformuler ma question :

Il me semble que l'énoncé que j'ai donné plus haut n'est pas exprimé dans sa plus grande généralité...

Par exemple, au lieu de dire \frac{\partial f}{\partial x}(x,\cdot) continue par morceaux, on peut sans doute demander une condition analogue moins restrictive (mesurabilité, etc.) ?

En bref : pourriez-vous m'indiquer quelles modifications on doit faire pour avoir le meilleur énoncé possible ?

Enfin, la condition qui me gêne le plus est l'hypothèse de domination (iv). Comment la montrer ? étant donné que le domaine de définition \Omega n'est pas un compact (ce qui aurait simplifié les choses, il me semble), mais un ouvert ?

D'ailleurs, bizarrement, sur le site   ne figure pas cette hypothèse fondamentale (?)

Enfin, il paraît que (cf. mon livre de référence) on pourrait demander seulement l'hypothèse de domination au voisinage de chaque point, i.e. :

\forall x_0\in A,\ \exists V\in\mathcal{V}(x_0),\ \exists \varphi_{x_0}\in L^1(I, \mathbb{R}_+)\ /\ \forall x\in V,\ \forall t\in I,\ \left| \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \right| \leq \varphi_{x_0}(t)

L'argument qui est avancé est que "la continuité est une notion locale"...

Merci d'avance pour votre aide,
Cordialement,
Erik.

Posté par
kaiser Moderateurre : [Sup] Fonction harmonique sur une couronne, ln |z| 14-05-07 à 12:00

Citation :
En bref : pourriez-vous m'indiquer quelles modifications on doit faire pour avoir le meilleur énoncé possible ?


Il suffit que la dérivée partielle soit intégrable (en particulier mesurable)

En ce qui concerne l'hypothèse de domination, on peut effectivement faire un raisonnement local (d'ailleurs, c'est ce qu'il faudra ici car si on essaie de majorer brutalement, on va avoir des ennuis au bord de notre domaine sur lequel on ne sait rien du comportement de u ne de ses dérivées partielles).
En effet, notre fonction est dérivable si seulement elle est dérivable au voisinage de chaque point donc du coup, pour montrer la dérivabilité en un point, on se place un petit voisinage ouvert de ce point (disons un disque) dont l'adhérence est contenue dans l'ouvert initial.
Ainsi, la fonction étant de classe \Large{C^{2}}, on aura simplement à majorer la dérivée sur un compact (par une constante).
Sinon, dans le cas générale, cette hypothèse de domination (au moins local) est primordiale pour pouvoir dériver sous le signe intégrale.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : [Sup] Fonction harmonique sur une couronne, ln |z| 14-05-07 à 12:05

Je viens de jeter un oeil au site que tu as mis dans ton message précédent : si tu parles du premier énoncé il n'y pas cette hypothèse de domination tout simplement parce qu'elle automatiquement vérifiée.
En effet, on impose en plus la continuité de f par rapport aux deux variables ce qui est beaucoup demandé.

Kaiser

Posté par
Nielsre : [Sup] Fonction harmonique sur une couronne, ln |z| 14-05-07 à 16:23

Merci beaucoup kaiser !
Merci pour toutes tes réponses si pertinentes !
À Bientôt !
Cordialement,
Erik.

Posté par
kaiser Moderateurre : [Sup] Fonction harmonique sur une couronne, ln |z| 14-05-07 à 19:44

Mais je t'en prie !
À bientôt sur l' !


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