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supplémentaire de K^n

Posté par
omarlab05
25-09-23 à 19:43

Bonjour,
avez vous des exemples des matrices de Mn(K) ayant un noyau et une image étant supplémentaires dans K^n.j'ai vu ca dans un oral
plus precisement( matrice de Mn(K) ayant un noyau et une image étant supplémentaires dans K^n, mais n'étant pas une matrice diagonalisable ) mais je ne vois comment le noyau et limage d une matrice peuvent etre supplementaire dans K^n et non Mn(K)???
merci

Posté par
carpediem
re : supplémentaire de K^n 25-09-23 à 20:39

salut

une projection d'un espace E sur un espace F ...

montre que E et F sont supplémentaires ...

Posté par
omarlab05
re : supplémentaire de K^n 25-09-23 à 21:03

salut,
je ne suis pas sur pourqoui j ai dit supplementaire dans Mn(K),
mais  je ne vois comment on peut trouver une matrice de Mn(K) ayant un noyau et une image étant supplémentaires dans K^n, mais non diagonalisable car la lendomorphisme canoniquement associe est une projection et on sait que tous les projecteurs sont diagonalisable.
merci

Posté par
jandri Correcteur
re : supplémentaire de K^n 25-09-23 à 21:30

Bonjour,

une matrice inversible non diagonalisable convient, par exemple la matrice identité plus une matrice nilpotente non nulle.

Posté par
omarlab05
re : supplémentaire de K^n 25-09-23 à 21:49

oops j ai trompé car kerf,Imf sont supplémentaires n implique pas que f est une proj dslllllll
merci  

Posté par
verdurin
re : supplémentaire de K^n 25-09-23 à 22:01

Bonsoir,
pour donner un exemple dans \R^3 :
on peut prendre l'endomorphisme de matrice \begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&-1\\0&1&1\end{pmatrix}.

En fait on fait une projection de \K^n sur \K^p que l'on « compose » avec un endomorphisme bijectif non diagonalisable de \K^p.

Posté par
omarlab05
re : supplémentaire de K^n 25-09-23 à 22:24

genial
on peut aussi prendre la matrice de rotation de M2(K) plongée dans M3
par exemple :
[0,1,0]
[-1,0,0]
[0,0,0]
mercii



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