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Sur la complétion
Bonsoir,
J'ai quelques question à propos de la complétion d'un espace métrique. En fait, que ce soit le prolongement de Kuratowski ou que ce soit la complétion usuelle ( par laquelle on passe par l'ensemble des suites de Cauchy de l'espace métrique ... ), il est, je suppose, difficile de trouver explicitement quel est un complété d'un espace métrique donné, encore moins le plus petit complété. Certains théorème ( comme le théorème de Weierstrass ) permettent de donner explicitement un complété.
Par exemple si on prend les munis tous de la norme uniforme, et
et F l'ensemble des fonctions polynomiales définies sur [0,1] à valeurs dans
. On sait par le théorème de Weierstrass qu'un complété de F est et que
n'est pas complet, mais comment peut-on être sûr qu'il n'y a aucun ensemble entre les deux et qui est un complété de F ? Et que peut-on dire des complétés des autres
( avec k
1 ) ? Y'a t-il un moyen de déterminer leur complété ? Je sais qu'il y'a une norme qui les rendre complet c'est la somme des normes uniformes avec les dérivées ... et qu'ainsi il n'est pas utile de chercher le complété de tels ensembles, mais je pense qu'en pratique, cela permet d'avoir des informations sur des équivalences de distances, car si on a deux distances d1 et d2 pour lesquels le complété d'un espace n'est pas le même alors elles ne sont pas équivalentes.
J'espère que vous pourrez m'aider afin d'améliorer ma vision sur les espaces complets et la complétion.
Merci d'avance
Bonjour ZiYun.
Je pense que si tu veux une bonne vision de la notion de complétion, le mieux est de retourner à la base des définitions, de connaître la notion d'espace uniforme et de parler de filtre de Cauchy.
Bonjour,
Je vous remercie de m'avoir guidé vers ces notions. Je pense avoir mieux compris la notion de complétude grâce la comprenant dans sons sens le plus général.
Merci encore.
Comment tu définis, un "completé"? Pour moi il y a le complété, qui verifie la propriété universelle à laquelle on pense (écrit la!), et il est trivial de vérifier qu'il est unique à isomorphisme (isométrie ici) unique près.
Bonjour,
Peut-être que ce qui suit va vous éclairer (du moins, je l'espère) :
Définition 1.1.
On appelle complétion d'un espace métrique (E, d)
un couple ((Ê, ^d), ϕ) formé d'un espace métrique complet et d'une isométrie
ϕ : (E, d) →(Ê, ˆd) telle que ϕ(E) soit dense dans Eˆ.
On rappelle qu'une isométrie est une application entre espaces métriques qui préserve la distance :
ˆd(ϕ(x), ϕ(y)) = d(x, y), ∀x, y ∈ E.
Théorème 1.2.
Tout espace métrique admet une complétion.
Théorème 1.6 (Propriété universelle du complété). Soit f : E → E' une application uniformément continue d'un espace métrique (E, d) dans un espace métrique complet (E', d'). Soit (Ê, ˆd, ϕ) une complétion de (E, d),
il existe une unique application uniformément continue ˆf : Eˆ → E' telle que f = ˆf ◦ ϕ.
Construire le diagramme commutatif.
C'est mettre les choses a l'envers; la définition la plus naturelle du complété c'est justement le théorème 1.6. Qui au passage implique toute de suite que le complété est unique (à isométrie unique pres). Le théorème 1.2 donne l'existence, et la définition 1.1 en fait présente des propriétés du complété défini par 1.6.
Bonsoir,
Je m'excuse de répondre après plusieurs jours.
Je pensais en fait, qu'on a imposé les axiomes de la définition 1.1 parce qu'on voulait généraliser le processus de construction de à partir des classes d'équivalence... Et c'est cette construction du complété qui m'a l'air le plus naturelle, pour remplir "les trous" dû aux limites qui n'existent pas de certaines suites de Cauchy.
Quand je parlais d' "un" complété je désignais le plus petit possible. Mais c'était faux de ma part merci de m'avoir indiqué que tous les complétés sont isométriques ( une isométrie surjective bien sûr ).
J'essaierai de démontrer le théorème 1.6 pour m'éclaircir les idées.
Merci de m'avoir présenter la complétude sous ce point de vue.
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