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Sur les matrices de transvections (inversion)
Bonjour, j'aurais besoin de votre aide pour une question d'un sujet de concours sur les matrices
La partie I traite des matrices de transvections.
En particulier, j'en suis arrivé à cela :
Soient lambda et mu deux réels; soient i,j,k,l avec i différent de j, k différent de l, j différent de k.
Calculer (I+lambda Eij)(I+mu Ekl) En déduire que I + lambda Eij est inversible et que son inverse est I - lambda Eij.
J'ai déja montré que Eij Ekl = delta_jk Eil, avec Eij matrice élementaire de Mn dont les termes sont tous nuls sauf le terme à la ieme ligne et jieme colonne, qui vaut 1, et delta_jk le symbole de Kronecker valant 1 si j=k et zéro sinon.
J'ai également montré que le determinant de la matrice de transvection est 1 quelque soit i et j.
J'ai calculé (I+lambda Eij)(I+mu Ekl), je trouve (I+lambda Eij)(I+mu Ekl)= I + lambda Eij + mu Ekl (le terme en Eij Ekl vaut zéro car il vaut delta_jk*Eil , or j différent de k donc delta jk =0)
De là; comment montrer que I+lambda Eij inversible et trouver son inverse ?
Je vous remercie
Cela ne pose pas de problème de dire que i=k, j=l car on nous dit que i different de j, k different de l, et j different de k dans l'énoncé ?? De plus pourquoi pourrait on donner une valeur particulière à mu car a priori, on ne nous y autorise pas ?
Je ne dis pas que ca ne marche pas mais je souhaiterais savoir pourquoi pourrait on fixer des valeurs ?
Tu as déjà eu toute l'aide nécessaire. Ce qui manque, c'est que tu réfléchisses un peu.
La situation est la suivante : on prend et
et on veut montrer que
est inversible. Or la formule que tu as démontrée entraîne (en prenant
,
et
) que
C'est terminé.
Je suis tout à fait d'accord avec toi !
C'est le "soient i,j,k,l avec i différent de j, k différent de l, j différent de k." qui me perturbait en fait...
Mais ne pense pas que je n'y ai pas réfléchi, j'ai juste eu une confusion 
Merci !!
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