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Niveau doctorat
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Sur un équation

Posté par
krokes
11-05-22 à 10:38

Bonjour à tous,

Je bosse actuellement sur un petit résultat concernant une équation, j'aimerais votre avis sur l'énoncé de ce dernier et la démonstration.

Soit z appartient à R et représente les solutions de l'équation ci-dessus, n appartient au nombre entier impair et (a,b,c) ne prennent que la valeur 0 ou 1.

Alors, (4a+2b+n)/(c+1)=z implique qu'il existe une solution unique (a,b,c) pour z.

Démonstration :
Soit ,
2(4a+2b+n)/(c+1)=2(4a'+2b'+n)/(c'+1)
Si l'expression 2(4a+2b+n)/(c+1) est pair c=0 et si l'expression est impair alors c=1.
Donc c=c'
Donc, 2(4a+2b+n)=2(4a'+2b'+n) donc a+2b=a'+2b'
Si l'expression a+2b est pair alors a=0 et si l'expression est impair alors a=1.
Donc a=a'
Donc b=b' car on obtient a+2b=a+2b'
Donc 2(4a+2b+n)/(c+1)=2(4a'+2b'+n)/(c'+1) implique que (a,b,c)=(a',b',c')
Donc (4a+2b+n)/(c+1)=(4a'+2b'+n)/(c'+1) implique que (a,b,c)=(a',b',c') (et c'est là que j'ai un doute, la simple division par deux conserve l'implication précédente ?).
Donc si (4a+2b+n)/(c+1)=z, alors il existe une solution unique (a,b,c).

Voilà merci a vous !

* modération > le niveau a été modifié  en fonction du profil renseigné *

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Sur un équation 11-05-22 à 11:41

Bonjour,
L'énoncé n'est pas clair :
A un moment il est question de z solution de l'équation ; à un autre moment, c'est (a,b,c).
Que veut dire "une solution unique (a,b,c) pour z" ?

Si z est dans , alors on ne peut rien dire sur la parité de z.

Sinon, avec a, b et c qui ne peuvent prendre que les valeurs 0 et 1, il n'y a que 8 cas à envisager.

Posté par
krokes
re : Sur un équation 11-05-22 à 12:57

Bonjour,

Merci pour votre réponse,

Oui tout à fait il y a un problème dans l'énoncé, en rectifiant j'obtiens cela : je ne sais pas si c'est mathématiquement correct.

Soit z appartient à R,  n appartient au nombre entier impair et (a,b,c) ne prennent que la valeur 0 ou 1.

Alors, (4a+2b+n)/(c+1)=z implique qu'il existe une solution unique (a,b,c,z) pour pour tout n appartenant au nombre entier impairs.


Concernant la démonstration il est vrai qu'il faut préciser pour la parité, en rectifiant j'obtiens cela :

Démonstration :
On multiplie par 2 l'expression et on obtient :
2(4a+2b+n)/(c+1) qui appartient à l'ensemble des nombres entiers Z

Soit ,
2(4a+2b+n)/(c+1)=2(4a'+2b'+n)/(c'+1)
Si l'expression 2(4a+2b+n)/(c+1) est pair c=0 et si l'expression est impair alors c=1.
Donc c=c'
Donc, 2(4a+2b+n)=2(4a'+2b'+n) donc a+2b=a'+2b'
Si l'expression a+2b est pair alors a=0 et si l'expression est impair alors a=1.
Donc a=a'
Donc b=b' car on obtient a+2b=a+2b'
Donc 2(4a+2b+n)/(c+1)=2(4a'+2b'+n)/(c'+1) implique que (a,b,c)=(a',b',c')
Donc (4a+2b+n)/(c+1)=(4a'+2b'+n)/(c'+1) implique que (a,b,c)=(a',b',c') (et c'est là que j'ai un doute,  peut on dire que la simple division par deux conserve l'implication précédente ?).
Si tel est le cas alors (4a+2b+n)/(c+1)=z, alors il existe une solution unique (a,b,c,z) pour tout n un nombre entier impair.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Sur un équation 11-05-22 à 13:33

Il y a un problème au départ en parlant de parité pour un quotient dont on ne sait pas s'il est entier.
" z appartient à R" ne dit pas que z est un entier.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Sur un équation 11-05-22 à 13:35

Citation :
2(4a+2b+n)/(c+1) qui appartient à l'ensemble des nombres entiers Z

Posté par
krokes
re : Sur un équation 11-05-22 à 13:48

Bonjour,

Sylvieg @ 11-05-2022 à 13:33

Il y a un problème au départ en parlant de parité pour un quotient dont on ne sait pas s'il est entier.
" z appartient à R" ne dit pas que z est un entier.

C'est le cas où on a 2(4a+2b+n)/(c+1)=z et non pas (4a+2b+n)/(c+1)=z
Si (a,b,c) prennent la valeur 0 ou 1 et n un nombre entier impair alors
2(4a+2b+n)/(c+1) appartient à l'ensemble des nombres entiers relatifs car 4a+2b+n appartient à l'ensemble des nombres entiers relatifs.

Ensuite on montre avec la parité que  2(4a+2b+n)/(c+1)=2(4a'+2b'+n)/(c'+1) implique que (a,b,c)=(a',b',c') et j'aimerais savoir si ensuite on peut simplement diviser par deux et donc obtenir (4a+2b+n)/(c+1)=(4a'+2b'+n)/(c'+1) et affirmer du coup que [b](a,b,c)=(a',b',c')

Merci à vous !

Posté par
krokes
re : Sur un équation 11-05-22 à 14:12

krokes @ 11-05-2022 à 12:57



[b]Soit z appartient à R,  n appartient au nombre entier impair et (a,b,c) ne prennent que la valeur 0 ou 1.

Alors, (4a+2b+n)/(c+1)=z implique qu'il existe une solution unique (a,b,c,z) pour pour tout n appartenant au nombre entier impairs.
[/b]

Je n'arrive pas exprimer cela mathématiquement en fait je souhaiterais écrire que si on a (4a+2b+n)/(c+1)=z alors le triplet (a,b,c) qui donne z pour un n donné est unique dans le sens où deux combinaisons (a,b,c) ne donnent pas un même z.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Sur un équation 11-05-22 à 14:28

C'est enfin un peu plus clair.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Sur un équation 11-05-22 à 14:37

Partir de (4a+2b+n)(c'+1)=(4a'+2b'+n)(c+1).
4a+2b+n et 4a'+2b'+n sont impairs.
c+1 et c'+1 ont donc la même parité.
D'où c' = c.
4a+2b = 4a'+2b'.
Les valeurs possibles de 4a+2b sont 0, 2, 4 et 6 qui correspondent chacune à un couple (a,b) unique.
D'où a = a' et b = b'.

Travailler en base 2 peut être une autre piste.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Sur un équation 11-05-22 à 14:38

2a +b = 2a'+b' au lieu de 4a+2b = 4a'+2b'.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Sur un équation 11-05-22 à 14:46

J'ai compris la démonstration du premier message.
Je détaille ci-dessous le début :
Commencer par préciser que c+1 = 1 ou 2 ; donc 2(4a+2b+n)/(c+1) est un entier.
Si c = 0 alors 2(4a+2b+n)/(c+1) = 2(4a+2b+n) qui est pair.
Si c = 1 alors 2(4a+2b+n)/(c+1) = 4a+2b+n qui est impair.

D'où : si 2(4a+2b+n)/(c+1)=2(4a'+2b'+n)/(c'+1) alors c = c'.

OK pour la suite.

Posté par
krokes
re : Sur un équation 11-05-22 à 14:49

Sylvieg @ 11-05-2022 à 14:37


4a+2b = 4a'+2b'.
Les valeurs possibles de 4a+2b sont 0, 2, 4 et 6 qui correspondent .


Peut on tout  ne pas dénombrer les solutions 0,2,4,6 et simplement dire que si 4a+2b=4a'+2b' cela implique que 2a+b=2a'+b'
Et donc si l'expression 2a+b est pair alors b=0 et si l'expression est impair alors b=1.
Donc b=b'
Donc a=a' car on obtient 2a+b=2a'+b

Sinon merci pour votre réponse concernant la démonstration.

Ensuite concernant l'énoncé comment pourrai-je le rédiger de manière clair et mathématiques ?

Merci à vous !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Sur un équation 11-05-22 à 14:59

Oui, j'ai écrit "OK pour la suite"

Pour rédiger l'énoncé, je propose de ne pas parler de z :
Si on a (4a+2b+n)/(c+1) = (4a'+2b'+n)/(c'+1) alors (a',b',c') = (a,b,c)

Posté par
krokes
re : Sur un équation 11-05-22 à 15:32

Sylvieg @ 11-05-2022 à 14:59

Oui, j'ai écrit "OK pour la suite"

Pour rédiger l'énoncé, je propose de ne pas parler de z :
Si on a (4a+2b+n)/(c+1) = (4a'+2b'+n)/(c'+1) alors (a',b',c') = (a,b,c)


Merci pour votre message !

Cela m'a bien aidé,

Le seul problème c'est que je dois inscrire ce résultat dans d'autres résultats qui utilisent z, pensez-vous que c'est faux d'écrire que  si (4a+2b+n)/(c+1)=z alors il existe une unique solution (a,b,c,z). Ou avez-vous d'autres exemple d'énoncé ?

En tout cas merci pour votre intérêt !

Posté par
carpediem
re : Sur un équation 11-05-22 à 20:01

salut

un énoncé (et sa rédaction) vraiment pas clair ...

krokes @ 11-05-2022 à 12:57

Soit z appartient à R,  n appartient au nombre entier impair et (a,b,c) ne prennent que la valeur 0 ou 1.

Alors, (4a+2b+n)/(c+1)=z implique qu'il existe une solution unique (a,b,c,z) pour pour tout n appartenant au nombre entier impairs.
en doctorat (pas nécessairement de math même) on devrait se rendre compte que la phrase rouge n'est pas du français ...

soit z un réel, n un entier naturel impair et a, b et c trois nombres (entiers) prenant les valeurs 0 ou 1.

et vu le ce qui suit le alors la lettre z n'a rien à faire ici

et l'énoncé devrait être :

soit n un entier naturel impair et a, b et c trois nombres (entiers) prenant les valeurs 0 ou 1.

montrer que l'application (a, b, c, n) \mapsto \dfrac {4a + 2b + n} {c + 1} est injective (ou bijective mezalor préciser l'ensemble d'arrivée ...)

ensuite on peut éventuellement poursuivre en disant : on pose z = \dfrac {4a + 2b + n} {c + 1}

on constate évidemment que z est un rationnel positif ...
et donc multiplier par 2 n'a aucun intérêt et parler de parité n'a pas de sens puisque z n'est pas nécessairement un entier ...

et ici comme le fait Sylvieg il est pertinent de travailler par disjonction de cas en traitant effectivement les cas c = 0 et c = 1

ensuite et seulement ensuite après être revenu à travailler avec des entiers alors on peut éventuellement évoquer des arguments de parité ...

même ce n'est même pas nécessaire car :

\dfrac {4a + 2b + n} {c + 1} = \dfrac {4a' + 2b' + n} {c' + 1} \iff (c' + 1)(4a + 2b + n) = (c + 1)(4a' + 2b' + n)

les numérateurs sont impairs (car n est impairs) donc pour avoir l'égalité il est nécessaire que c + 1 et c' + 1 aient même parité et donc aussi c et c'

or c et c' vivent dan {0, 1} donc c = c' ...



les numérateurs sont donc égaux aussi ... et montrer que a = a' et b = b' se démontre alors de même ...

Posté par
krokes
re : Sur un équation 13-05-22 à 15:05

carpediem @ 11-05-2022 à 20:01

salut



les numérateurs sont impairs (car n est impairs) donc pour avoir l'égalité il est nécessaire que c + 1 et c' + 1 aient même parité et donc aussi c et c'
...


Bonjour, merci pour votre réponse !!

Je n'arrive pas à mettre sur la main de la proposition qui démontre cela auriez-vous une petite preuve, même si je sais que c'est assez trivial et logique en soit...

Merci à vous !

Posté par
carpediem
re : Sur un équation 13-05-22 à 17:49

c'est du niveau collège :

le produit de deux impairs est ...
le produit par un pair est ...



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