Bonsoir j'ai un problème sur la démonstration d'un théorème.

Je pose les définitions suivantes:

différentiable= infiniment dérivable.
un voisinage est un ouvert.

(Surface) Soit S une partie de . On dit que S est une surface (régulière) si pour tout p dans S il existe un voisinage de p et une fonction homéomorphisme avec U un ouvert de R² et f différentiable et le rang de la jacobienne est partout égale à 2.

(graphe) Soit avec W ouvert de , h différentiable alors le graphe de h est:

(valeur régulière) Soit avec W un ouvert de différentiable. Soit . On dit que c est valeur régulière de f si:



Théorème (surface de niveau est une surface régulière): Soit avec W un ouvert de différentiable. Soit une valeur régulière. Alors est une surface régulière.

Démonstration: Je fixe . On peut supposer que la dérivée partielle par rapport à la 3eme variable est non nul. On considére définit par: .
F est différentiable et le jacobien en est non nul. Donc d'après le théorème d'inversion locale il existe U voisinage de et V voisinage de tel que soit un difféomorphisme.

Ensuite, j'ai montré que .

Et je suis bloqué. je pense que il faut montré que est un surface en montrant que c'est le graphe d'une fonction mais je n'arrive pas à le montrer.
Sinon, une autre idée (venant de mon prof) consiste à dire que l'image d'une surface par un difféomorphisme est encore une surface mais j'avoue ne vraiment pas voir l'utilité ici.


Merci d'avance pour votre aide.