Je viens de montrer le résultat suivant:
Soit P[X]de degré n1 et de coefficient dominant a*.
On note:
K(0)={z1,z2,..,zr} l'ensemble des racines distinctes de P (1rn)
d = min |zi-zj| ; D = diam(K(0))= max |zi-zj|
1ijr 1i,jr
et pour +* on définit les ensembles:
K()={z/|P(z)|}
I()={z/|P(z)|<}.
Théorème:
Il existe une unique constante réelle positive c vérifiant:
K(c) connexe.
>c I() est connexe.
c I() est non connexe et a au plus r composantes connexes.
|a|*(d/2)^(1/n)c|a|*D^(1/n).
Utilité du résultat:
Connexité de l'ensemble de Mandelbrot.