bonjour je ne sais pas quelle est la méthode pour montrer le caractère injectif et le caractère surjectif de la fonction (x,y)(x-y,x+y) , ²²
merci d'avance pour votre réponse
Bonjour,
Pour l'injectivité prend X=(x,y), X'=(x',y') dans R² et montre que si f(X)=f(X') alors X=X'
Pour la surjectivité, prend un Y de R² et montre qu'il existe un X de R² tel que Y=f(X)
il faut donc montrer que (x-y,x+y)=(x'-y',x'+y') mais c'est bizarre car si f(x,y)=f(x',y') on aura forcément x,y=x',y' pour ce cas là.
il faut montrer que si (x-y,x+y)=(x'-y',x'+y') alors (x,y)=(x',y')
si tu as cela alors la fonction est injective
j'ai donc posé x'=m et y'=p
malheureusement je rencontre des difficultés pour résoudre (x-y,x+y)=(m-p,m+p)
tu n'as pas besoin de faire ça
si x-y=x'-y'et x+y=x'+y'
en ajoutant les deux on trouve 2x = 2x' donc x=x' et donc y=y'
donc (x,y)=(x',y') donc on a l'injectivité
merci pour cette explication à présent je rencontre des difficultés pour montrer le caractère surjectif de cette même fonction. je voudrais savoir quelle raisonnement est nécessaire pour aboutir cette conclusion sachant qu'on ne peut pas faire la dérivé et le tableau de variation car l'ensemble d'étude est un produit cartésien.
merci d'avance pour votre réponse
tu viens de le faire
pour chaque Y=(a,b) de R² tu as trouvé un X=(x,y) de R² tel que f(X)=Y
c'est la définition de la surjectivité
Bonjour
le simple fait d'avoir trouvé une solution montre que c'est surjectif
en fait tu as même montré directement que c'est bijectif, puisque tu as montré qu'il y a une unique solution ....
f bijective, ça veut exactement dire que pour tout (a,b), il existe un unique (x,y) tel que f(x,y) = (a,b)
tu l'as prouvé, tu as même explicité l'unique (x,y) : c'est ((a+b)/2, (b-a)/2)
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