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Surjection
Bonjour.
Je n'arrive pas à réaliser une démonstration.
Ennoncé :
Montrer que si g o f est surjective, g l'est nécessairement aussi, et que si de plus g est injective, alors f est surjective.
Données:
f: E
F et g:FG
avec E F G trois ensembles non vides.
Mes réflexions :
J'ai pensé tout d'abord à dire que : du fait que l'ensemble de départ de g et l'ensemble d'arrivé de f étaient confondus (car ils ont le même ensemble F) alors, g o f (x)= idF(x)=g[f(x)]=x.
Donc cela signifierait que f(x) est un antécédant de x
E par g et donc que g est surjective.
Mais je ne crois pas que l'on puisse utiliser l'identité et de plus pour la suite je cale...
Pourriez-vous m'aider? Je ne demande pas les réponses mais je voudrais comprendre comment raisonner pour trouver la démonstatrion.
Merci d'avance.
Salut!
On procede quasiment toujours de la meme maniere pour montrer la surjectivite... On montre que la definition est verifiee.
Autrement dit, on cherche un antecedent par g a n'importe quel element de G.
Soit z un element de G...
Il faut trouver un y de F tel que g(y) = z.
Est-ce que tu trouverais quelque chose qui ressemble un peu a ca? Qu'est-ce qu'on peut faire de ce z que l'on s'est donne, en utilisant la seule hypothese de l'exercice?
Courage,
biondo
salut
en effet tu ne peux pas utiliser le raisonnement avec l'identité, et surtout tu ne peux pas écrire que gof(x)=x en utilisant le simple fait qu'elles ont le même ensemble de définition ...
par contre tu peux appliquer la méthode de biondo et ça viendra tout seul 
bon courage
Je pense que :
Si on suppose g o f surjective.
Cela implique g o f (x)= z avec z qui possède un antécédant par g o f dans E.
g o f (x)=z donc g(f(x))=z donc g(y)=z.
z possède donc au moins un antécédant y par g dans F.
Est-ce possible?
Pour ce qui est du reste de ma question...
Supposons de plus que g est injective.
Alors g[f(x)]=f[g(x')] implique f(x)=f(x')
donc f est elle aussi injective car:
f(x)=f(x') implique x=x'.
Ensuite on me demande de donner un exemple où g est surjective alors que g o f ne l'est pas.
J'ai pensé prendre une application f non surjective
exemple:
f:
x
sin(x)
et une application g surjective
exemple:
g:
x10x+7
Si je ne fais pas d'erreur la composée ne peut être surjective...
Pour la surjectivite de g: je pense que tu as compris. Attention a la redaction.
Pour la suite: on ne te demande pas de montrer que f est injective. D'ailleurs, tu n'as rien montre: tu "sautes" a x=x', sans le demontrer (heureusement, car c'est faux en general).
Il faut montrer que si g est injective (en plus de g o f surjective), alors f est surjective.
Soit y un element de F.
On cherche un x tel que f(x) = y.
Posons z = g(y).
Comme g o f est surjective, il existe un x de E tel que g[f(x)] = z
Donc g(f(x)) = g(y)
comme g est injective, y = f(x).
Et voila.
biondo
.
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