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Surjection et continuité
Bonjour, j'ai juste une (toute) petite question technique:
pour prouver qu'une fonction Q(t)est continue sur IR+, est-ce que cela suffit de montrer que l'application correspondant à Q(t) est une surjection de IR+ (t appartient à IR+) dans IR+ ?
Merci.
Bonjour Haribo
Il n'y a aucune raison qu'une surjection soit continue.
Contre-exemple :
On pose Q(0)=0
Si t appartient à un intervalle du type ]2n,2n+1], on pose Q(t)=t.
Si t appartient à un intervalle du type ]2n+1,2n+2], on pose Q(t)=4n+3-t
Fais un dessin pour t'en convaincre
Kaiser
Bonjour
Je dirais même plus: il n'y a aucune raison qu'un fonction continue soit surjective: des quantités industrielles de fonctions continues ne donnent pas IR + comme image de IR+.
Par exemple f(t) = sin t pour qui l'image de IR+ est [-1;1]
ou toute fonction bornée sur IR+: arctan t, e-t, ,...
Bon je vais mettre la question de l'exercice, ça devrait éclaircir un peu les choses...
a. Montrer que, pour tout réel t strictement positif, la fonction wt définie par :
quelquesoit x appartient à IR+, wt(x)=t*x-f(x) admet un maximum et qu'elle l'atteint en un unique réel positif xt.
On appelle phi la fontion, qui, à tout réel positif associe xt et f* la fonction qui, à t asocie wt(xt). La fonction f* sera appelée foction conjuguée de f.
Cette question j'y arrive, et je l'ai mis pour que la suite soit plus compréhensible.
b. Démontrer que phi est continue, strictement croissante sur IR+, que phi(0)=0 et que phi(t) tend vers +OO quand x tend vers +OO.
La stricte croissance ne me pose pas de problème et phi(0)=0 non plus.
Par contre la continuité me pose un problème (j'aimerais utilisé le fait que quelque soit t, wt admet un maximum, d'ou ma question sur la surjection).
Pour la limite, il me semble que c'est une faute de frappe non? (la prof a dit qu'il y en avait...). je pense qu'on souhaite la limite de phi(t) quand t tend vers +OO.
Il faut savoir que f dans cette question a de multiples propriétés:
- f est une fonction de IR+ dans IR+
-f(0)=0
-la dérivée de f est positive, continue et strictment croissante sur IR+
-f'(0)=0
-lim f'(x)=+oo lorsque x tend vers +oo
Je te conseille de passer par la caractérisation séquentielle de la continuité.
1) Considère un réel positif quelconque t ainsi qu'une suite quelconque de réels positifs qui converge vers t
2) Montre que la suite admet exactement une valeur d'adhérence et que celle-ci vaut
3) Conclus
Kaiser
P.S : oui, c'est manifestement une faute de frappe.
Merci, mais il y aurait pas un truc plus "classique"? (je connais pas du tout cette méthode 
- et d'ailleurs c'est quoi une valeur d'adhérence ?)
Merci, mais il y aurait pas un truc plus "classique"?
Effectivement, il y a largement plus simple !
Essaie d'exprimer
d'ailleurs c'est quoi une valeur d'adhérence ?
une valeur d'adhérence d'une suite c'est la limite d'une sous-suite convergente.
Plus précisément, si
Kaiser
Je ne parviens pas à exprimer xt en fonction de f et t. La seule relation intéressante que j'ai c'est :
f'(xt)=t (il suffit de dériver pour obtenir cette égalité).
Alors, à partir de là, je peux "tricher"(il s'agit d'une question plus loin dans l'exercice) en utilisant le fait que f' et phi sont deux fonctions réciproques, ce qui permet de conclure (enfin il me semble).
Problème, quand j'essaie de démontrer la réciprocité j'ai un souci :
-f'o(phi)=Id car f'(phi(t))=f'(xt)=t (relation ci dessus) OK
-Par contre je parviens à démontrer que (phi)of'=Id seulement en partant avec phi(f'(xt))=phi(t)=xt.(ce qui, il me semble, est insuffisant pour la démonstration)
Lorsque je démarre avec phi(f'(t))=phi(f'(f'(t)), je reste coincé...
Alors, à partir de là, je peux "tricher"(il s'agit d'une question plus loin dans l'exercice) en utilisant le fait que f' et phi sont deux fonctions réciproques, ce qui permet de conclure (enfin il me semble).
Oui, c'est bien la méthode plus simple à laquelle je faisais allusion.
Problème, quand j'essaie de démontrer la réciprocité j'ai un souci :
mais il n'y a pas de problème. En effet, il suffit simplement de remarquer que f' est bijective et donc l'un des deux sens suffit pour conclure.
En effet, on sait que
Sinon, tu peux utiliser les propriétés de
Kaiser
Bonsoir, je coince sur une question dans la suite de l'excercice.
Il s'agit de : montrer que f**=f où l'on note f** la fonction conjuguée de f*(il n'y a pas plus de précision.
Déjà, la "conjuguée" n'étant pas clairement définie(cf question ci dessus), je conjecture :
f*(t)=Wt(xt)=Max Wt(x) sur IR+ = Max (t.x-f(x)) sur IR+
d'où, surement f**(t)= Max (tx -f*(x)) sur IR+
Donc f**(t)= Max [tx - max(t.x-f(x))]
A partir de là, je ne vois pas trop comment je pourrais démontrer que f**(t)=f(t). Mais ma démarche est peut-être fausse (mauvaise interprétation du concept de conjuguée ?). Une idée ?
Bonsoir Haribo
Déjà, d'après ce que l'on a dit plus haut, on peut dire ce que vaut car on sait ce que vaut
en fonction f et de t.
Kaiser
il n'y a pas plus de précision.
En gros, il faut quand même supposer des hypothèses plus fortes pour pouvoir définir la conjuguée de la conjuguée, comme par exemple une régularité plus importante concernant f.
Mais sous ces hypothèses, il faut encore montrer que les autres conditions de ton message posté le 15/08/2007 à 14:40 sont vérifiées (autres celles concernant la régularité).
Kaiser
xt= phi(t)= f'^(-1)(t)
D'où f*(t)=Wt((f'^(-1)(t))= t(f'^(-1)(t))- f(f'^-1(t)) (2)[(dsl si c'est pas très lisible).
Et maintenant je remplace f par f*dans (2) et je suis censé trouver f(t) ?
oui mais avant, essaie de calculer la dérivée de (et surtout d'en trouver une expression la plus agréable possible).
Kaiser
essaie de calculer la dérivée de f* (
Cette dérivée ne vaut pas xt ? (d'ailleurs j'ai du le démontrer dans une question de l'exercice).
Ce fut laborieux (surtout à une heure si tardive) mais j'ai fais le calcul et je trouve bien
f**(t)=f(t). Victoire ^^. Merci beaucoup et bonne soirée.
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