Voici un exemple d'exercice que je voudrais arriver à maitriser;

Soient f, g, et h des applications de E dans lui même.
1- Montrer que f o g injective => g injective.
2- Montrer que f o g surjective => f surjective.
3- Montrer que si g o f et h o g sont bijectives, alors f, g, et f sont bijectives.

J'ai déjà trouvé pas mal de pages web, mais étant débutant dans ce domaine, j'ignore si il s'agit de cours adéquates à mes besoins.

Nice.

Bonjour.

a) Pour montrer que f est injective, une bonne méthode consiste à résoudre l'équation : f(x) = f(y)

Si elle ne possède que la solution x = y, alors, f est injective.

b) Pour montrer que f est surjective, on résout l'équation f(x) = y.

Si cette équation possède pour tout y au moins une solution, alors, f est surjective.

Mais bien souvent, d'autres méthodes sont employées.

Exemple :

1°) fog injective g injective.

Je démontre la contraposée : g non injective fog non injective

g non injective il existe a et b tels que a b et g(a) = g(b)

Je compose par f : il existe a et b tels que a b et fog(a) = fog(b)

Cela signifie que fog est non injective.

Bonjour,

Il existe un "vieux" livre sur ces sujets ( math "moderne") qui a le bon goût d'être en plus assez drôle, si vous pouvez le consulter vous pourrez voir si cela vous convient?
Le livre en question est:
mathématiques pour papa  de serge Berman René Bezard éditions Chéron

Bon courage!

Citation de raymond :"Pour montrer que f est injective, une bonne méthode consiste à résoudre l'équation : f(x) = f(y)"
Est-ce vraiment possible de résoudre cette équation, à partir des informations contenus dans l'énoncé ?

Citation de michel60 :"Il existe un "vieux" livre sur ces sujets ... si vous pouvez le consulter vous pourrez voir si cela vous convient?"
A partir du moment où ce livre contient toutes les informations nécessaires à la résolution de cet énoncé, alors ce livre m'intéresse.
La question, c'est donc; est-ce que ce livre contient ces informations ?

Bonjour ,

Merci pour vos réponses. En demandant est-c'était vraiment possible de résoudre cette équation à partir des informations contenus dans l'énoncé, j'espérai comprendre le raisonnement...

J'ignore ce que c'est qu'un antécédent !
Est-ce que vraiment, personne ne peut me conseiller un cours sur le web, en me garantissant que ce cours permet de résoudre cet exercice ?

Un ou plusieurs cours...
Considérons que j'ai le niveau terminale S.

Si tu ignores ce que c'est qu'un antécédent, on peut y remédier très vite :

On dit qu'un élément a est un antécédent de b par une fonction f si f(a)=b ("a s'envoie sur b"). Si f est la fonction carré, -3 et 3 sont les antécédents de 9 ; si f est la fonction inverse, 5 est un antécédent de 1/5. Etc...
Note que b (l'élément dont on cherche les antécédents) vit dans l'espace d'arrivée de la fonction, alors que a (l'antécédent) vit dans l'espace de départ.

La notion d'antécédent est très pratique pour comprendre l'injectivité / surjectivité :
- une fonction est surjective si tout élément de l'espace d'arrivée a au moins un antécédent
- injective si tt élt de l'espace d'arrivée a au plus un antécédent
- bijective si tt élt de l'espace d'arrivée a exactement un antécédent.

Bon mais si je trouve un cours bien fichu sur le net je te le dis...

En attendant tu peux lire le début de ça

Ah! Merci. Ca fait bu bien !

Citrou, avec ton explication, j'ai vraiment l'impression de voir clair, d'avoir fait au moins la moitié du chemin.
Le cours aussi à l'air radical, ça sent bon...

Bref, j'ai maintenant du pain sur la planche, quoi. Je me lance dans le travaille.

A bientôt

J'en suis à la définition d'une injection, et certaines notations qui sont utilisés dans le cours me sont étrangères.

f est injective si (x,x') A² : (xx') (f(x)f(x'))

Je voudrais comprendre la signification de certaines des notations;
- le couple (x,x'), qu'est-ce que ça signifie ?
- à quoi ressemble les éléments contenus dans A² ?
- que veut dire A² : (xx') ?

Bonjour

Si A et B sont deux ensembles, l'ensemble A x B ("A croix B") est appelé le produit cartésien de A et B. Il est constitué des couples (x;y) avec x dans A et y dans B.
On note A² pour "A x A".
Par exemple R² c'est R x R, l'ensemble des (x;y) où x et y sont deux réels.
Dans l'idée de couple il y a l'idée d'ordre : tu vois bien que le point (x;y), ce n'est pas la même chose que le point (y;x) par exemple - le point (2;1) n'est pas (1;2), ...

Autre ex que tu peux comprendre, si je te dis de résoudre un système d'équations à deux inconnues x et y, ça veut dire exactement : "trouver tous les couples (x;y) qui sont solutions". Là aussi, l'ordre importe : le couple (x;y)=(2;1) (x=2, y=1) peut être solution sans que le couple (1;2) (x=1,y=2) le soit.

Dans ton ex, les deux points sont remplaçables par une virgule. Le A^2 et le x≠x ne font pas partie "du même morceau de phrase".

Je reviens, ce matin j'avais juste 5 minutes
L'injectivité,  en français, ça donne :

f est injective si : pour tous éléments x et x' de A, si x et x' sont différents alors leurs images sont différentes.
Le "pour tout (x,x')A²" c'est une notation "plus rapide" que "pour tout xA, pour tout x'A". Ici il n'y a pas d'histoire d'ordre, x et x' jouent le même rôle.

Je te remercie encore. C'est très clair.