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symétrie

Posté par P'tittete (invité) 12-06-04 à 14:33

Rebonjour,

j'ai encore besoin de vous, comment faire pour montrer que les 2 supports

v:[0;1] sur R2: v(t)=(t,t^2)
et w:[0;1] sur R2: w(t)=(t,t^(1/2))
sont symétriques par rapport à la droite y=x ?

je vous remercie d'avance!

Posté par Emma (invité)re : symétrie 12-06-04 à 15:52

Je ne suis pas sûr d'avoir compris ta question...
Mais il me semble que ça revient à montrer que les courbes représentatives
de f : x --> x²   et g : x --> x sont symétriques
par rapport à la droite d'équation y=x.

Une petite remarque utile : g=f-1.

Dans ce cas, tu peux utiliser le théorème qui dit que Cf et
Cf-1 sont symétriques par rappost à la première
bissectrice.
Tu peux aussi redémontrer ce résultat sans trop de difficultés je pense...

@+

Posté par Aline (invité)re : symétrie 12-06-04 à 15:58

Bonjour  P'tittete,

Je te propose un début de solution mais je ne sais pas si ça mene au
résultat.

v(t) et w(t) sont les équation paramétrées respectives de y=x² et y= x
en restriction à [0,1]

Dire que la droite y=x est axe de symétrie c'est dire que:
quelque soit le point M que tu prend sur la courbe y=x², si tu traces une
doite perepndiculaire à y=x passant par M, elle coupe la courbe y=
x en un point N et le milieu de [MN] est sur la
droite y=x

En écrivant proprement les choses ça peut marcher mais je n'ai
pas fais les calculs.

Les droites perpendiculaires à y=x à considérer sont les droites de l'ensemble
{y=-x+p tel que p [0, 2 ] }

Posté par Emma (invité)re : symétrie 12-06-04 à 16:39

Re !

Je te disais que tu pourrais redémontrer le théorème "sans trop de
difficultés" --> je me suis lancée pour vérifier que je ne te disais
pas trop de bétises... je l'ai faite dans le cas particulier
de tes fonctions f et g, mais elle s'adapte aisément pour f
quelconque et g=f-1

1.
Soit M(x;y) un point de Cf : alors en fait, M(x;x²).
Soit M'(x';y') l'image de M par la symétrie S
d'axe D:y=x.
Alors  { x'=x²
           { y'=x
Mais donc y'= x')
Ainsi, M'(x';x')
Et donc M' appartient à Cg.

Ceci prouve que l'image de Cf est incluse dans Cg.
S(Cf)    Cg

-----------
2.
De même, on a S(Cg)    Cf
Et donc S[S(Cg)]    S(Cf)
D'où  Cg   S(Cf)

----------
3.
Et donc, par double inclusion :  S(Cf)  =  Cg
Les deux courbes sont donc symétriques par rapport à D:y=x

----------
@+



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