Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Symétrie d'un nuage de points et covariance

Posté par
artyb 21-05-18 à 09:33

Bonjour,

Soient X et Y sont des variables de $R^n$ .

1. Si le nuage de points [X Y] présente une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, que peut on dire de $cov(X,Y)$ ?
2. Peut on généraliser ce résultat à un nuage de points présentant une symétrie par rapport à un axe parallèle à l'axe des ordonnées? à l'axe des abscisses?

1. Mon intuition est que la covariance est nulle, mais comment le démontrer?
En visualisant un nuage de points symétrique par rapport à l'axe des ordonnées je me dis que en moyenne les X sont nuls ( $E[X]=0$ ) puisque pour chaque valeur $X_i$ on a aussi la valeur - $X_i$ . Et je me dis aussi que pour chaque valeur $X_iY_i$ il existe aussi $-X_iY_i$ ce qui donne $E[XY]=0$ . Et donc $Cov(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]=0$ . Est-ce juste?

2. Je dirais que la symétrie par rapport à un axe parallèle à l'axe des ordonnées (l'axe $X=a$ ) entraîne $E[X]=a$ mais je n'arrive pas à voir si on peut généraliser ou pas, des idées?

Posté par re : Symétrie d'un nuage de points et covariance 21-05-18 à 09:58

salut

1/ semble raisonnable ...

2/ on peut toujours faire une translation x--> x - a pour se ramener à l'axe des ordonnées comme axe de symétrie ...

Posté par re : Symétrie d'un nuage de points et covariance 22-05-18 à 08:26

Bonjour,

Merci.

Pour 2/ Oui on peut toujours centrer et dans ce cas là on a une symétrie par rapport à (Oy). Mais si l'on s'intéresse aux symétrie par rapport à (Ox) ? Y a t il une cov spécifique ?

Posté par re : Symétrie d'un nuage de points et covariance 22-05-18 à 08:42

ben faudrait faire le calcul théorique (à coup de ) et voir si on peut obtenir un résultat particulier ...