Si I milieu de [AB]
A image de B par s <==> Rotation de centre I de valeur pi radian.

NB : AB=2 AI ==>avec une homothétie, on doit pouvoir traduire la transformation.

Bonjour ,

D'après le cours :

z' = a*zbarre + b où a et b sont complexes avec |a|=1

On sait que :

- le point A a pour image le point B par la sumétrie s
- le point J d'affixe 1 est invariant (c'est un point de la droite d)

C'est suffisant pour calculer a et b

salut
exo deja pose, un conseil fonction recherche.

l'ecriture complexe d'une reflexion est z'=a*zbarre +b

d est la mediatrice de [AB] donc A est l'image de B par s et B est l'image de A par s.

B est l'image de A par s donc
-2+i=a*(3i)+b

A est l'image de B par s donc :
-3i=a*(-2-i)+b

systeme lineaire de deux equations
-2+i=a*(3i)+b
-3i=a*(-2-i)+b

a deux inconnues a et b.

(-2+i)*(-2-i)=a*(3i)*(-2+i)+b*(-2-i)
(-3i)*3i=a*(3i)*(-2+i)+b*(3i)

donc -4=b*(-2-i-3i)=b*(-2-4*i)
donc b=2/5-4i/5
et a=3/5+4i/5

donc z'=(1/5)*[(3+4i)*zbarre+2-4i]
a+

J'aimerais savoir comment résoudre l'exo sans la relation z'= a*zbarre + b car je ne l'ai jamais vu en cours.

est-ce possible?

Solution analytique :

M(x,y) pour z = x + i*y
M'(x',y') pour z' = x' + i*y'

A(0,-3) pour -3i
B(-2,1) pour -2 + i

MM' est parallèle à AB (donc perpendiculaire à d)

le milieu de [MM'] est sur d

puis calcul de x' et y' en fonction de x et y

pour poursuivre ce qu'a dit gianpf :
soit I milieu de [MM']
xI=(x+x')/2
yI=(y+y')/2

or I est sur d
donc xI-2yI-1=0

on obtient donc (x+x')-2*(y+y')-2=0

or (MM') est parallèle à (AB)

vecteur(MM')=k*vecteur(AB), k dependant de M et de M'.
coordonnees de vecteur(AB) (-2,4)
coordonnees de vecteur(MM')(x'-x,y'-y)

on a donc -2*k=x'-x et 4*k=y'-y

donc -2*(x'-x)=y'-y

on a donc deux equations :

-2*(x'-x)=y'-y
(x+x')-2*(y+y')-2=0

si on considere ces equations comme deux equations lineaires a deux inconnues y' et x' où x et y y jouent le role de parametre on a systeme de deux equations a deux inconnues x' et y'.

reecrivons les :
2*x'+y'=y+2*x   (1)
x'-2*y'=2-x+2y  (2)

donc
2*x'+y'=y+2*x     (1)
-2x'+4y'=-4+2x-4y <- obtenue en multipliant (2) par -2
on l'appelle (3)

2*x'+y'=y+2*x     (1)
5*y'=-4-3y+4x     (1)+(3)

donc y'=-(1/5)*(4+3y-4x)

et x'=(y+2*x-y')/2=(y+2*x+(1/5)*(4+3y-4x))/2

donc y'=-(1/5)*(4+3*y-4*x)
et x'=(1/5)*(4*y+3*x+2)

remarque z'=x'+i*y'=(1/5)*[(4*y+3*x+2) - i*(4+3*y-4*x)]

z'=(1/5)*[(4-3i)*y+(3+4i)*x + 2-4i]
or 4-3i=i*(-4i-3)=-i*(3+4i)

donc z'=(1/5)*[-i(3+4i)*y+(3+4i)*x + 2-4i]
et : z'=(1/5)*[(3+4i)*(x-i*y) +2-4i]

comme z=x+i*y, zbarre=x-i*y

on a z'=(1/5)*[(3+4*i)*zbarre +2-4i]

a+