Bonjour

y=x²=y⁴

et il te reste à résoudre cette équation dans R ou C selon ce que l'on te demande.

une chose que je ne comprends pas on utilise la substitution ?

x=y²

donc y=x²=(y²)² d'ou y⁴


donc y=y⁴

je dois résoudre ça dans R

salut loic-7 et camélia
dans IR j'ai trouvé moi ça :  y²+y-1=0 d'abord c'est x-y = x²-y² donc comment pourra-t-on la résoudre alors
je pense que y=x2=y4 est encore compliqué.
merci

bonjour,

x = y²
y = x²

<=>

x = x⁴
y = x²

commence par résoudre la 1° équation : x = x⁴

...

bonjour

le système à résoudre

y=x²
x=y²

a pour solutions évidentes (0,0) et (1,1)

sur la graphique des deux paraboles on peut vérifier rapidement que ces deux solutions sont les seules.

on peut maintenant montrer qu'elles sont les seules

tout d'abord il faut remarquer que x>=0 et y>=0

le système est équivalent à:

x-y=y²-x²
y=x²

qui est équivalent à:
(x-y)(1+x+y)=0
y=x²
et à
(x=y  ou (x+y=-1
(y=x²    (y=x²

(x=y   ssi (x=y      ssi (x=0  ou (x=1
(y=x²      (x(x-1)=0     (y=0     (y=1

le système
(x+y=-1
(y=x²
n'a pas de solution car x>=0 et y>=0 donc x+y=-1 est impossible
------
voila

x=y²
y=x²

y = (y²)²
y = y^4

Solutions dans C²:
y = 0 est solution.
Si y est différent de 0, alors: y³ = 1 = e^(i.2k.Pi)
y =  e^(i.2k.Pi/3)

k = 0 --> y = e^(0) = 1
k = 1 --> y = e^(i.(2Pi/3) = cos(2Pi/3) + i.sin(2Pi/3) = -(1/2) + ((V3)/2).i
k = 2 --> y = e^(i.4Pi/3) = cos(4Pi/3) + i.sin(4Pi/3) = -(1/2) - ((V3)/2).i

y = 0 --> x = 0
y = 1 --> x = 1² = 1
y = -(1/2) + ((V3)/2).i --> x = -(1/2) - ((V3)/2).i
y = -(1/2) - ((V3)/2).i --> x = -(1/2) + ((V3)/2).i

Dans C², il y a 4 couples (x,y) solutions, soit:

(0 , 0)
(1 , 1)
(-(1/2) - ((V3)/2).i , -(1/2) + ((V3)/2).i)
(-(1/2) + ((V3)/2).i , -(1/2) - ((V3)/2).i)
-----
Si on cherche les solutions dans R², alors il y a 2 couples solutions, soit :
(0 , 0) et (1 , 1)
-----
Sauf distractions.  

Merci poutr toutes ces réponses un seul problème, la résolution d'une équation de type y=y⁴ n'est pas au programme de terminale n'y a t-il pa un moyen plus facile pour résoudre ce système:

|x=y²
|y=x²

Bonsoir ,



1 est racine évidente de y^3-1=0, on peut donc factoriser : (fais par identification avec y^3-1=(y-1)(ay^2+by+c) si tu ne vois pas ce qu'il faut mettre dans la deuxième parenthèse)



On ne peut pas factoriser dans R (delta<0), donc ça s'arrête là.
Les solutions sont donc : y=0 ou y=1

Les x correspondants () sont x=0 et x=1.

Les couples (x;y) de solutions du système sont donc (0,0) et (1,1)

Critou

merci

Bonjour,
c'est une proposition de résolution dans R, en tenant compte des idées déjà citées :
(équation 1)  :     x=y²  implique que x est supérieur ou égal à 0.
de même
(équation 2)   :     y=x² implique que y est supérieur ou égal à 0.

L'équation est symétrique donc on peut supposer que x=y, ce qui se prouve si nécessaire ainsi :
Par l'absurde : supposons (et sachant que x 0 et y0) qu'un couple (x,y) soit solution avec xy :
On obtient par soustraction de (équation 1) - (équation 2) :
x-y = y²-x²
  x-y = (y-x)(y+x)
or comme x y on peut diviser par y-x :
(x-y)/(y-x) = x + y
  -1 = x+ y
   x+y+1 = 0, ce qui est impossible car x et y sont positifs ou nuls.

Donc les couples solutions sont du type (x,y) avec y=x.

du coup, c'est tout simple :
(équation 1) x =x² d'où x = 0 ou x = 1
les solutions sont (0,0) et (1,1)
de même :
(équation 2) y =y² d'où y = 0 ou y = 1
qui n'ajoute pas de couple solution .

salut