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Système d'équation de congruence à 2 inconnus
Bonjour. Je ne parviens pas à résoudre ce système d'équation de congruence à 2 inconnus dans Z. Enfin si, mais quand je vérifies je ne tombe pas sur le résultat attendu.
Le système est
4x+y=6mod12 (1)
x+4y=6mod12 (2)
Je déduis que
4x+y=6mod12
3y=6mod(12) 4*(2)-(1)
Équivalent à
12x+3y=6mod12
3y=6mod(12)
Donc y=2mod4 et x quelconque or
4x+(2+4k) n'est pas forcément congruent à 6mod12 ?
J'ai aussi tenté autrement en partant de
4x+y=6mod12
3y=6mod(12)
On déduit que
4x+y=6mod12
y=2mod4
Donc
4x=6-(2+4k)mod12=4-4kmod(12)
y=2+4k pour k dans Z
Donc
x=(1-k)mod(3)
y=2+4k
Donc les solution sont les couples de la forme (1-k+3q,2+4k) avec q et k dans Z. Mais là de nouveau en testant je trouve que ça ne respecte pas le système...
Je dois sans doute faire une erreur ou passer à côté de quelques choses... votre aide est donc la bienvenue ! Merci d'avance.
salut
il serait préférable d'ajouter les deux équations et de les soustraire ...
car il est "interdit" de multiplier par 4 car 4 est un diviseur de 0 dans Z/12Z
plus précisément tu peux multiplier par ce que tu veux (même par 0) mais il n'y pas d'équivalence
ainsi en travaillant modulo 12 :
4x + y = 6 => 4x +4y = 0 <=> 4(x + y)= 0
donc une solution (x, y) vérifie 4(x+ y) = 0 mais un couple qui vérifie 4(x + y) =0 n'est pas nécessairement solution
Bonsoir, merci de vos réponses, je me doutais bien que le problème venait du fait que mes équivalences étaient en réalité que des implications...
Grâce à votre aide je pense avoir réussi ...
Le système est
4x+y=6mod12 (1)
x+4y=6mod12 (2)
Je déduis que
5(x+y)=0mod12 (1)+(2)
x+4y=6mod12 (2)
Équivalent à
x+y=0mod12 (car 5 et 12 premiers entre eux)
3y=6mod(12)
donc
x=-ymod(12)
y=2mod(4)
donc les solutions sont les couples de la formes (-(4k+2)+12q,2+4k) avec k et q dans Z.
J'ai vérifié et il me semble que de tels couples respectent le système... à voir si mon raisonnement est correct !
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