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Système d'équation, PGCD et PPCM

Posté par
Vlam 28-11-13 à 21:14

Bonsoir!

Décidément, j'ai beaucoup de mal avec l'arithmétique!
Et voilà qu'on me demande un type qu'exercice que je n'ai jamais fait, résoudre un système avec des PPCM et autres PGCD...

Voici l'énoncé:

pgcd(x,y)=12
ppcm(x,y)=420
x>y>20

et

x+y=56
ppcm(x,y)=180
x<y

Je ne vois vraiment pas le lien avec le cours, je ne sais absolument pas comment procéder.

Un peu d'aide serait la bienvenue, merci d'avance!

Posté par
freniclere : Système d'équation, PGCD et PPCM 28-11-13 à 22:10

Bonjour,

On peut écrire x = 12x' et y = 12y'  avec x' et y' premiers entre eux.

Que vaut alors le ppcm de x et y en fonction de x' et y' ?

Posté par
Vlamre : Système d'équation, PGCD et PPCM 28-11-13 à 22:24

Bonsoir et merci de ton aide je désespérai!

ppcm(x',y')=420/12=30 ?

Posté par
freniclere : Système d'équation, PGCD et PPCM 28-11-13 à 23:53

À 20% près...

Posté par
alainpaulre : Système d'équation, PGCD et PPCM 29-11-13 à 11:05

Bonjour,


#Un début à tout#

ppcm les diviseurs premiers plus haute puissance,
pgcd "     "        "       plus basse puissance,
alors
ppcm\times pgcd = ...




alain

Posté par
fontaine6140re : Système d'équation, PGCD et PPCM 29-11-13 à 12:06

Bonjour,

pour le b)
d=pgcd(x,y) avec d= 1,2,3,4,5,10,12,15,...

xy=180d (1)
x+y=56 (2)
(1) et (2)=>x²-56x+180d=0
delta=3135-720*d >=0 =>d<=4
pour d=1,2,3 ,delta n'est pas un carré parfait.
si d=4 =>x1=20,x2=36
comme x<y, x=20,y=36.

Posté par
fontaine6140re : Système d'équation, PGCD et PPCM 29-11-13 à 12:17

lire 3136 et non 3135

Posté par
flightre : Système d'équation, PGCD et PPCM 29-11-13 à 13:00

salut

pour le 1) les multiples de 12 sont  12,24,36,48,60,72 ,...ect

on a aussi x.y= 12*420 = 5040

et la contrainte  20 < y < x

soit              20x < 5040 < x²  ce qui amene x à se trouver entre  70 et 252     70 < x < 252

on a aussi 70y < 5040 < 252y   et donc   20 < y < 72

y etant un mutliple de 12 il ne peut se situer qu'entre  24,36,48,60

si y = 60  x = 5040/60 = 84   et ppcm(60,84)= 420  pgcd(60,84)= 12  

pour les autres valeurs ca ne marche pas  

Posté par
bbomathsre : Système d'équation, PGCD et PPCM 01-12-13 à 16:31

Bonjour.
\\ \\ \text{Comme premier indice, nous avons le plus petit commun multiple:} \\ \\ \text{PPCM}(x, y) = 420 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7 \\ \\ \text{Il est formé par les \textbf{facteurs premiers différents} 2, 3, 5 et 7. Chacun de ces facteurs premiers est affecté \textbf{du plus fort exposant} issu de la décomposition des nombres $x$ ou $y$.} \\ \\ \text{Nous pouvons écrire avec a, b, ..., h entiers naturels :} \\ \\ x = 2^{a} \times 3^b \times 5^c \times 7^d \\ \\ y = 2^{e} \times 3^f \times 5^g \times 7^h \\ \\ \text{Nous pouvons établir le tableau suivant:} \\ \\ \begin{tabular}{|c|cc|} & \multicolumn{2}{c|}{PPCM} \\ Puissances de 2 : & $a \leq $2 & $e \leq 2$   \\ Puissances de 3 : & $b \leq $1 & $f \leq 1$   \\ Puissances de 5 : & $c \leq $1 & $g \leq 1$   \\ Puissances de 7 : & $d \leq $1 & $h \leq 1$   \\ \end{tabular} \\ \\ \text{Comme deuxième indice, nous avons le plus grand commun diviseur:} \\ \\ \text{PGCD}(x, y) = 12 = 2^2 \times 3 \\ \\ \text{Il est formé par les {\color{green}{facteurs premiers communs 2 et 3}}. Chacun de ces facteurs premiers est affecté \textbf{du plus faible exposant} issu de la décomposition des nombres $x$ ou $y$.} \\ \\ x = {\color{green}{2^{a}}} \times {\color{green}{3^b}} \times {\color{red}{5^c}} \times {\color{red}{7^d}} \\ y = {\color{green}{2^{e}}} \times {\color{green}{3^f}} \times {\color{red}{5^g}} \times {\color{red}{7^h}} \\ \\ \text{Nous pouvons compléter le tableau précédent:} \\ \\ \begin{tabular}{|c|cc|cc|cc|} & \multicolumn{2}{c|}{PPCM} & \multicolumn{2}{c|}{PGCD} & \multicolumn{2}{c|}{alors} \\ Puissances de 2 : & $a \leq 2$ & $e \leq 2$ & $a \geq 2$ & $e \geq 2$ & $a = 2$ & $e = 2$ \\ Puissances de 3 : & $b \leq 1$ & $f \leq 1$ & $b \geq 1$ & $f \geq 1$ & $b = 1$ & $f = 1$   \\ Puissances de 5 : & $c \leq 1$ & $g \leq 1$ & $c + d = 1$ & $g + h = 1$} & \phantom{$c = 1$} & \phantom{$g = 1$}   \\ Puissances de 7 : & $d \leq 1$ & $h \leq 1$ & $c + g = 1$ & $d + h = 1$} & \phantom{$d = 1$} & \phantom{$h = 1$}   \\ \end{tabular} \\ \\ \text{D'où:} \\ \\ x = 2^2 \times 3 \times 5^c \times 7^d = 12 \times 5^c \times 7^d \\ \\ y = 2^2 \times 3 \times 5^g \times 7^h = 12 \times 5^g \times 7^h \\ \\ \text{Comme troisième indice, nous avons:} \\ \\ 20 < y < x \\ \\ \text{On pose :} \\ \\ g = 1 \text{ et } h = 0 \text{ alors } c = 0 \text{ et } d = 1 \\ \\ \text{D'où :} \\ \\ y = 60 \text{ et } x = 84 \\

A+

Posté par
alainpaulre : Système d'équation, PGCD et PPCM 02-12-13 à 10:12

Bonjour,


Pour la résolution du 1) *frenicle* a donné une solution
générale et directe.

pgcd(x,y)=2^2 3 \\ ppcm(x,y)=2^2 3 \times 5 \times 7 \\ x=12x',y=12y' \\ pgcd(x',y')= pgcd(5,7)= 1

avec la contrainte x>y>20
...


Pour le 2)
Existe-t 'il une solution aussi simple?


Alain

Posté par
freniclere : Système d'équation, PGCD et PPCM 02-12-13 à 11:00

Bonjour,

Soit d le pgcd de x et y.

d divise 56 et 180 donc divise 4. Il peut valoir 1, 2 ou 4.

On écrit encore x=dx',y=dy' avec x',y' premiers entre eux. Le ppcm de x et y vaut dx'y'

1°) Si d=1, on obtient x'y'=180,x'+y'=56 : pas de solution en nombres entiers.

2°) Si d=2, on obtient x'y'=90,x'+y'=28 : pas de solution en nombres entiers.

3°) Si d=4, on obtient x'y'=45,x'+y'=14 : une seule solution vérifiant x'<y'.

Posté par
alainpaulre : Système d'équation, PGCD et PPCM 02-12-13 à 12:22

Salut,


Pas mal,



Alain


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