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Système d’équations à trois inconnues

Posté par
sadarou
14-11-21 à 13:35

Bonjour, je voudrais de l'aide sur un exercice dont voici l'énoncé
On se propose de résoudre le système
x+y+z=0
x²+y²+z²=0
x³+y³+z³=0
1) Montrer que le système est équivalent au système
x+y+z=0
xy+xz+yz=-3
xyz=6
2) en déduire que x,y,z sont les solutions de l'équation  (E) : x³−3x-2=0
3) Résoudre (E) puis en déduire toutes les solutions du deuxième système

Pour 1) j'ai exprimé x en fonction y et z c'est à dire x=-y-z
Puis remplacer x dans l'équation 2 et 3
Ce qui m'a donné le système suivant
x+y+z=0
2(y²+z²+yx)=0
3xyz=0
Mais je ne peux pas continuer !

Posté par
carpediem
re : Système d’équations à trois inconnues 14-11-21 à 14:24

salut

élève la première égalité au carré et développe

fais de même en élevant au cube ...

Posté par
carpediem
re : Système d’équations à trois inconnues 14-11-21 à 14:26

en fait développe simplement (x + y + z)^3 ...

Posté par
carpediem
re : Système d’équations à trois inconnues 14-11-21 à 14:27

je suis quand même étonné des seconds membres du système équivalent ...

Posté par
sadarou
re : Système d’équations à trois inconnues 14-11-21 à 16:44

Ok merci carpediem
J'ai essayé votre méthode en élevant au carré et au cube
Mais j'ai du mal à retrouver le -3 et le 6
Aidez moi s'il vous plaît

Posté par
carpediem
re : Système d’équations à trois inconnues 14-11-21 à 16:53

justement moi aussi j'ai des doutes ...

-x + y + z)^2 = ... ?

(x + y + z)^3 = ... ?

Posté par
Pirho
re : Système d’équations à trois inconnues 14-11-21 à 16:59

Bonjour à vous 2,

moi aussi j'ai des doutes car Wolfram donne ceci

Posté par
alb12
re : Système d’équations à trois inconnues 14-11-21 à 17:43

en effet x^2+y^2+z^2=0 donne peu de solution !
on peut supposer que l'equation E est correcte et reecrire l'enonce

Posté par
alb12
re : Système d’équations à trois inconnues 14-11-21 à 18:12

ce serait peut etre x+y+z=0,x^2+y^2+z^2=6,x^3+y^3+z^3=6

Posté par
sadarou
re : Système d’équations à trois inconnues 14-11-21 à 18:30

Merci Alb12
Comment retrouver
x²+y²+z²=6  Et x³+y³+z³=6
En tout cas moi  j'ai pensé que ça donnerait
x²+y²+z²=0  Et x³+y³+z³=0
Par ce que (x+y+z)² =0 => x²+y²+z²=0
                        (x+y+z)³ =0 => x³+y³+z³=0

Posté par
littleguy
re : Système d’équations à trois inconnues 14-11-21 à 18:44

Bonjour,

Je ne comprends pas bien : le système du début
x+y+z=0
x²+y²+z²=0
x³+y³+z³=0
admet une solution évidente(0,0,0).

Aussi je ne comprends pas la première question qui est :

Montrer que le système est équivalent au système
x+y+z=0
xy+xz+yz=-3
xyz=6

Posté par
sadarou
re : Système d’équations à trois inconnues 14-11-21 à 19:06

Littleguy
Donc vous supposez que l'énoncé d'en haut comporte des erreurs ?

Posté par
alb12
re : Système d’équations à trois inconnues 14-11-21 à 20:05

D'où vient l'enonce ?

Posté par
carpediem
re : Système d’équations à trois inconnues 14-11-21 à 20:08

avec

carpediem @ 14-11-2021 à 16:53

justement moi aussi j'ai des doutes ...

(x + y + z)^2 = ... ?

(x + y + z)^3 = ... ?
il est aisé de retrouver l'énoncé exact à partir du deuxième système ...

Posté par
alb12
re : Système d’équations à trois inconnues 14-11-21 à 20:17

lequel deuxieme systeme est probablement aussi farfelu qu le premier

Posté par
sadarou
re : Système d’équations à trois inconnues 14-11-21 à 23:04

Ok merci beaucoup
Je crois trouver l'erreur
Je crois la bonne
x+y+z=0
x²+y²+z²=6
x³+y³+z³=6
L'équation équivalente est
x+y+z=0
xy+xz+yz=−3
xyz=2

Mais je voudrais de l'aide pour en déduire  que x  y z  sont les solutions de l'equation  (E) X³ −3x−2=0

Posté par
Pirho
re : Système d’équations à trois inconnues 15-11-21 à 07:13

en attendant le retour des autres répondants!

x=-(y+z)à remplacer dans les 2 autres équations

x^3-3\,x-2=0

Posté par
Pirho
re : Système d’équations à trois inconnues 15-11-21 à 07:52

oups, je me suis mal exprimé!!

remplacer y+z et y\,z dans les 2 dernières équations

Posté par
mathafou Moderateur
re : Système d’équations à trois inconnues 15-11-21 à 23:03

Bonjour,

on peut s'attaquer au problème de façon élégante en gardant toujours la symétrie complète entre les 3 inconnues
pour cela il faut connaitre (retrouver/démontrer) quelques identités remarquables :

(a+b+c)2 = ... (développer)
(a+b+c)3 = ... (développer
(a+b+c)(ab+bc+ac) = ... (développer)
(X-a)(X-b)(X-c) = ... (développer)

le thème de cet exo est "les relations symétriques des racines"
et les "formules de Viète" (mais inutile de savoir que ça s'appelle comme ça )

Posté par
Pirho
re : Système d’équations à trois inconnues 16-11-21 à 07:20

Bonjour mathafou

est-ce possible d'appliquer ces méthodes en terminale?

Posté par
Pirho
re : Système d’équations à trois inconnues 16-11-21 à 07:38

on arrive rapidement au résultat par une méthode classique

la 1ère équation donne x=-(y+z)

en faisant apparaître y+z dans les 2e et 3e équations, on obtient

respectivement x^2-yz=3 et   xyz=2

d'où x^3-3x-2=0 soit (x-2)(x+1)^2

et c'est pratiquement terminé



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