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Système d’équations à trois inconnues
Bonjour, je voudrais de l'aide sur un exercice dont voici l'énoncé
On se propose de résoudre le système
x+y+z=0
x²+y²+z²=0
x³+y³+z³=0
1) Montrer que le système est équivalent au système
x+y+z=0
xy+xz+yz=-3
xyz=6
2) en déduire que x,y,z sont les solutions de l'équation (E) : x³−3x-2=0
3) Résoudre (E) puis en déduire toutes les solutions du deuxième système
Pour 1) j'ai exprimé x en fonction y et z c'est à dire x=-y-z
Puis remplacer x dans l'équation 2 et 3
Ce qui m'a donné le système suivant
x+y+z=0
2(y²+z²+yx)=0
3xyz=0
Mais je ne peux pas continuer !
Ok merci carpediem
J'ai essayé votre méthode en élevant au carré et au cube
Mais j'ai du mal à retrouver le -3 et le 6
Aidez moi s'il vous plaît
en effet x^2+y^2+z^2=0 donne peu de solution !
on peut supposer que l'equation E est correcte et reecrire l'enonce
Merci Alb12
Comment retrouver
x²+y²+z²=6 Et x³+y³+z³=6
En tout cas moi j'ai pensé que ça donnerait
x²+y²+z²=0 Et x³+y³+z³=0
Par ce que (x+y+z)² =0 => x²+y²+z²=0
(x+y+z)³ =0 => x³+y³+z³=0
Bonjour,
Je ne comprends pas bien : le système du début
x+y+z=0
x²+y²+z²=0
x³+y³+z³=0
admet une solution évidente(0,0,0).
Aussi je ne comprends pas la première question qui est :
Montrer que le système est équivalent au système
x+y+z=0
xy+xz+yz=-3
xyz=6
avec
justement moi aussi j'ai des doutes ...
(x + y + z)^2 = ... ?
(x + y + z)^3 = ... ?
Ok merci beaucoup
Je crois trouver l'erreur
Je crois la bonne
x+y+z=0
x²+y²+z²=6
x³+y³+z³=6
L'équation équivalente est
x+y+z=0
xy+xz+yz=−3
xyz=2
Mais je voudrais de l'aide pour en déduire que x y z sont les solutions de l'equation (E) X³ −3x−2=0
Bonjour,
on peut s'attaquer au problème de façon élégante en gardant toujours la symétrie complète entre les 3 inconnues
pour cela il faut connaitre (retrouver/démontrer) quelques identités remarquables :
(a+b+c)2 = ... (développer)
(a+b+c)3 = ... (développer
(a+b+c)(ab+bc+ac) = ... (développer)
(X-a)(X-b)(X-c) = ... (développer)
le thème de cet exo est "les relations symétriques des racines"
et les "formules de Viète" (mais inutile de savoir que ça s'appelle comme ça 
)
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