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Système d'équations trigonométriques

Posté par
Nolhados
26-05-20 à 12:01

Bonjour à tous.
J'aimerais que vous m'aidiez à résoudre un système *****s'il-vous-plaît.
L'énoncé est le suivant:
Soit a un réel,trouver les couples (x,y) de réels tels que:
{sin(x)+sin(y)=sin(a)
{cos(x)+cos(y)=1-cos(a)

Il serait préférable selon la série d'exercices que je traite que l'on fasse intervenir les notions du chapitre «complexes»
Désolé pour l'accolade du système!!

Merci d'avance!

*malou>pour la gestion du temps , cela dépendra essentiellement de ton investissement sur le sujet*

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Système d'équations trigonométriques 26-05-20 à 12:21

Bonjour,
Une piste :
Écrire \; (2)+i(1) \; où (1) et (2) désignent les 2 équations.

Posté par
Nolhados
re : Système d'équations trigonométriques 26-05-20 à 12:39

Justement j'y ai pensé et voici où j'en suis arrivé.
J'obtiens cosx +isinx +cosy +isiny =1+ cosa + isina
Ce qui équivaut à eix + eiy = 1+ eia
J'ai voulu faire intervenir ln mais j'arrive à une impasse:
ln(eix + eiy)=ln(1+eia)
Je ne sais quoi faire.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Système d'équations trigonométriques 26-05-20 à 13:33

Pas de ln avec les complexes !
Et \; sin(a) + 1- cos(a) \; ne donne pas \; 1 + eia .

Posté par
Nolhados
re : Système d'équations trigonométriques 26-05-20 à 13:40

D'accord. Merci.
On a donc 1-cosa + isina = 1-e-ia.
Est-ce bien cela?
Si oui pourriez-vous m'aider à progresser sur cette piste?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Système d'équations trigonométriques 26-05-20 à 14:02

Oui pour 1-e-ia.
As-tu déjà rencontré ce genre de question :
Écrire sous forme exponentielle le complexe \; eix + eiy \; ?

Posté par
Nolhados
re : Système d'équations trigonométriques 26-05-20 à 14:07

OK.
Non pas encore.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Système d'équations trigonométriques 26-05-20 à 14:29

Je ne vais plus être disponible avant la fin de l'après midi.
Deux remarques :
Si(x,y) est un couple solution alors (y,x) aussi.
On trouve des couples solutions simples avec cos(y) = 1.

Posté par
Nolhados
re : Système d'équations trigonométriques 26-05-20 à 15:09

D'accord. Merci.
J'y pense et je vous soumets mes résultats plus tard dans la soirée.🙏

Posté par
carpediem
re : Système d'équations trigonométriques 26-05-20 à 15:34

salut

je ne vois pas où on va aller avec les complexes et je suis curieux de voir la suite ...

je note S le système initial ...

si (x, y) est une solution de S alors (x, y) est une solution du système (où on élève au carré)

\sin^2 x + 2 \sin x \sin y + \sin^2 y = \sin^2 a
 \\ \cos^2 x + 2 \cos x \cos y + \cos^2 y = 1 - 2 \cos a + \cos^2 a

et en ajoutant (x, y) est solution de l'équation : \cos (x - y) = - \cos a = \cos (a + \pi)

Posté par
Nolhados
re : Système d'équations trigonométriques 26-05-20 à 22:25

Bonsoir.
Désolé. Il y a une erreur de signe dans mon énoncé dans la seconde équation. L'énoncé est plutôt comme ceci:
Soit a un réel,trouver les couples (x,y) de réels tels que:
{sin(x)+sin(y)=sin(a)
{cos(x)+cos(y)=1+cos(a)


Avec les complexes je ne vois pas d'issue. Mais il doit y en avoir je pense...

Bon avec la correction de l'énoncé et en suivant la méthode de Carpediem j'obtiens ceci:

je note S le système initial ...

si (x, y) est une solution de S alors (x, y) est une solution du système (où on élève au carré)

\sin^2 x + 2 \sin x \sin y + \sin^2 y = \sin^2 a
\\ \cos^2 x + 2 \cos x \cos y + \cos^2 y = 1 - 2 \cos a + \cos^2 a
(Voir la réponse de Carpediem)

et en ajoutant (x, y) est solution de l'équation :
cos(x-y)=cos(a)

Cela me donne ceci:
x-y=a+2kπ, k élément de Z
Ou x-y=-a+2kπ

Ainsi sin(x-y)= sin(a) ou -sin(a)
En remplaçant a dans la première équation par x-y on a:

Sin(x)cos(y)- cos(x)sin(y)=sin(x)+sin(y)
Ainsi cosy=1 et cosx=-1 d'où j'ai le couple (π,0)
Ou

-Sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)=sin(x)+sin(y)
Ainsi cosy=-1 et cosx=1 d'où j'ai le couple (0,π)

Ainsi on a les couples (kπ,0) et (0,kπ)
k élément de Z.



Mon raisonnement est-il correct?
Les solutions sont-elles suffisantes ou existe-t-il des manquements?
Merci!

Posté par
carpediem
re : Système d'équations trigonométriques 26-05-20 à 22:50

je ne sais pas si c'est correct (même si il me semble que des étapes ne sont pas justifiées) mais je sais que je ne sais pas pourquoi tu passes pas sin (x -y)

une fois que l'on sait que x - y = \pm a + k2\pi \iff x = y \pm a + k 2 \pi

je remplacerai x par cette expression dans le système tout simplement ... mais peut-être bien que ça revient au même avec simplement une permutation des étapes

je le fais avec +a ...

\left\lbrace\begin{matrix} \sin (y + a) + \sin y = \sin a\\ \cos (y + a) + \cos y = 1 + \cos a \end{matrix}\right. \iff \left\lbrace\begin{matrix} \sin \dfrac {y + a} 2 \cos \dfrac {y + a} 2 = \sin \dfrac {y - a} 2 \cos \dfrac {y + a} 2\\ \cos (y + a) + \cos y = 1 + \cos a \end{matrix}\right.

dans la première équation je mets tout dans un membre, factorise et retourne au collège ... pour trouver y ... et peut-être une condition sur a aussi ...

et mon raisonnement est rigoureux ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Système d'équations trigonométriques 27-05-20 à 14:10

Bonjour,
La méthode avec les complexes revient en fait à utiliser des formules pour
cos(p)+cos(q) et sin(p)+sin(q).

Sinon, Nolhados , ta conclusion semble être

Citation :
Ainsi on a les couples (kπ,0) et (0,kπ)
k élément de Z.
As-tu vérifié en remplaçant dans le système de l'énoncé ?
Par ailleurs, il est étonnant d'obtenir des solutions où a n'intervient pas.
C'est peut-être une coquille, 0 à la place de a ?

As-tu regardé directement dans le système de l'énoncé ce qui se passe quand y = 0 ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Système d'équations trigonométriques 27-05-20 à 14:34

Pour les curieux,
Les complexes donnent ceci :

cos(\frac{x-y}{2}) \, e^{i\frac{x+y}{2}} = \; cos(\frac{a}{2}) \: e^{i\frac{a}{2}}


Qui donne le même \; x - y = \pm a + 2k\pi \; de carpediem.

Posté par
carpediem
re : Système d'équations trigonométriques 27-05-20 à 20:29

merci d'avoir satisfait ma curiosité ...

effectivement c'est le même raisonnement rédigé avec les fonctions trigo ou avec l'exponentielle complexe ...

ça me semble tout de même artificiel de passer par les complexes ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Système d'équations trigonométriques 27-05-20 à 20:39

C'était la demande de Nolhados

Posté par
carpediem
re : Système d'équations trigonométriques 27-05-20 à 20:58

bien sûr ... mais au début je ne "voyais" pas comment conclure réellement avec ton indication car ça me semblait bien calculatoire disons quelque petites contorsions avant d'arriver à ton résultat final



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