Bonjour à tous.
J'aimerais que vous m'aidiez à résoudre un système *****s'il-vous-plaît.
L'énoncé est le suivant:
Soit a un réel,trouver les couples (x,y) de réels tels que:
{sin(x)+sin(y)=sin(a)
{cos(x)+cos(y)=1-cos(a)
Il serait préférable selon la série d'exercices que je traite que l'on fasse intervenir les notions du chapitre «complexes»
Désolé pour l'accolade du système!!
Merci d'avance!
*malou>pour la gestion du temps , cela dépendra essentiellement de ton investissement sur le sujet*
Justement j'y ai pensé et voici où j'en suis arrivé.
J'obtiens cosx +isinx +cosy +isiny =1+ cosa + isina
Ce qui équivaut à eix + eiy = 1+ eia
J'ai voulu faire intervenir ln mais j'arrive à une impasse:
ln(eix + eiy)=ln(1+eia)
Je ne sais quoi faire.
D'accord. Merci.
On a donc 1-cosa + isina = 1-e-ia.
Est-ce bien cela?
Si oui pourriez-vous m'aider à progresser sur cette piste?
Oui pour 1-e-ia.
As-tu déjà rencontré ce genre de question :
Écrire sous forme exponentielle le complexe eix + eiy
?
Je ne vais plus être disponible avant la fin de l'après midi.
Deux remarques :
Si(x,y) est un couple solution alors (y,x) aussi.
On trouve des couples solutions simples avec cos(y) = 1.
salut
je ne vois pas où on va aller avec les complexes et je suis curieux de voir la suite ...
je note S le système initial ...
si (x, y) est une solution de S alors (x, y) est une solution du système (où on élève au carré)
et en ajoutant (x, y) est solution de l'équation :
Bonsoir.
Désolé. Il y a une erreur de signe dans mon énoncé dans la seconde équation. L'énoncé est plutôt comme ceci:
Soit a un réel,trouver les couples (x,y) de réels tels que:
{sin(x)+sin(y)=sin(a)
{cos(x)+cos(y)=1+cos(a)
Avec les complexes je ne vois pas d'issue. Mais il doit y en avoir je pense...
Bon avec la correction de l'énoncé et en suivant la méthode de Carpediem j'obtiens ceci:
je note S le système initial ...
si (x, y) est une solution de S alors (x, y) est une solution du système (où on élève au carré)
\sin^2 x + 2 \sin x \sin y + \sin^2 y = \sin^2 a
\\ \cos^2 x + 2 \cos x \cos y + \cos^2 y = 1 - 2 \cos a + \cos^2 a
(Voir la réponse de Carpediem)
et en ajoutant (x, y) est solution de l'équation :
cos(x-y)=cos(a)
Cela me donne ceci:
x-y=a+2kπ, k élément de Z
Ou x-y=-a+2kπ
Ainsi sin(x-y)= sin(a) ou -sin(a)
En remplaçant a dans la première équation par x-y on a:
Sin(x)cos(y)- cos(x)sin(y)=sin(x)+sin(y)
Ainsi cosy=1 et cosx=-1 d'où j'ai le couple (π,0)
Ou
-Sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)=sin(x)+sin(y)
Ainsi cosy=-1 et cosx=1 d'où j'ai le couple (0,π)
Ainsi on a les couples (kπ,0) et (0,kπ)
k élément de Z.
Mon raisonnement est-il correct?
Les solutions sont-elles suffisantes ou existe-t-il des manquements?
Merci!
je ne sais pas si c'est correct (même si il me semble que des étapes ne sont pas justifiées) mais je sais que je ne sais pas pourquoi tu passes pas sin (x -y)
une fois que l'on sait que
je remplacerai x par cette expression dans le système tout simplement ... mais peut-être bien que ça revient au même avec simplement une permutation des étapes
je le fais avec +a ...
dans la première équation je mets tout dans un membre, factorise et retourne au collège ... pour trouver y ... et peut-être une condition sur a aussi ...
et mon raisonnement est rigoureux ...
Bonjour,
La méthode avec les complexes revient en fait à utiliser des formules pour
cos(p)+cos(q) et sin(p)+sin(q).
Sinon, Nolhados , ta conclusion semble être
merci d'avoir satisfait ma curiosité ...
effectivement c'est le même raisonnement rédigé avec les fonctions trigo ou avec l'exponentielle complexe ...
ça me semble tout de même artificiel de passer par les complexes ...
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