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Systeme de classes de fonctions polynomiales

Posté par
robby3 09-05-08 à 15:38

Bonjour tout le monde,
j'ai un exercice dont j'ai une "correction"
assez mystérieuse pour moi, enfin pas assez détaillée pour que je comprenne aisément.
Voici la bete:

Citation :
Dans L_C^2([-1,1],dt),onconsidere le systeme constitué des classes de fonctions polynomial (\tilde{L_n})_{n\in N} ou:
\rm \large \tilde{L_n}(t)=\frac{d^n}{dt^n}(1-t^2)^n \forall n\in N

Vérifier que les classes des \tilde{L_n} sont orthogonales 2 à 2 pour le produit scalaire dont dérive la norme de Minkowski ||.||_2:
\large ||f||_2=\sqrt(\Bigint_{-1}^{1} |f(t)|^2 dt
sur ce C-espace vectoriel
Par quelle constante réelle c_n positive faut-il multiplier \tilde{L_n} pour que l'on ait
||c_n.\tilde{L_n}||_2=1?


>alors moi en fait au début j'étais parti sur une petite récurrence pour voir comment ça marchait...
j'avais pris \tilde{L_0}(t)=(1-t^2)^0=1
et \tilde{L_1}(t)=\frac{d}{dt} (1-t^2)=-2t
et donc je regardais <1,-2t>=\Bigint_{-1}^1 |-2t|^2 dt=0
donc ensuite je suppose vrai au rang n cad que <\tilde{L_{n-1}}(t),\tilde{L_n}(t)>=0
et je veux montrer que <\tilde{L_{n}}(t),\tilde{L_{n+1}}(t)>=0
et là ça a bloqué...

Mais dans la correction...ça n'a rien à voir me semble t-il avec ce que j'avais fait!

Voici ce que fait mon prof:
On pose f_n(t)=(1-t^2)^n pour n\in N
Si p>q, on  peut calculer via q intégrations par parties successives :
\large \Bigint_{-1}^1 f_p^{(p)}f_q^{(q)}dt \\ =(-1)^q.\Bigint_{-1}^1 f_p^{(p-q)}f_q^{(2q)} dt \\ \\ =(2q)!\Bigint_{-1}^1 f_p^{(p-q)} dt \\ \\ \\ =(2q)! (f_p^{(p-q-1)}(1)-f_p^{(p-q-1)}(-1))=0

ensuite y'a une phrase qui tente de nous expliquer
"La partie toute intégrée à chaque étape est nulle car la fonction f_p s'annule à l'ordre p en 1 et en -1,ce qui implique que toutes les dérivées de f_p jusqu'à l'ordre p-1 s'annulent en 0 et en 1.Ceci prouve l'orthogonalité des classes de fonctions \tilde{L_n} prises 2 à 2."
je met la suite de la correction aprés.

Dans cette correction,je comprend pas pourquoi on regarde f_n(t)...
ensuite les calculs,je les comprend pas trop non plus
l'explication ça peut aller
Merci d'avance de votre  aide!

Posté par
robby3re : Systeme de classes de fonctions polynomiales 09-05-08 à 21:00

quelqu'un pour m'expliquer

Posté par
perroquetre : Systeme de classes de fonctions polynomiales 09-05-08 à 21:21

Bonjour, robby3

Je t'explique d'abord pourquoi ton idée n'est pas bonne.
Tu as cherché à montrer que L_n et L_{n+1} sont orthogonaux. A supposer que tu y arrives, cela ne démontrera pas que la famille est orthogonale, puisqu'il faut démontrer que L_p et L_q sont orthogonaux pour p différent de q (et pas seulement pour le cas particulier q=p+1)

Donc, il faut démontrer que L_p et L_q sont orthogonaux pour p différent de q. Comme L_p est la dérivée p-ième de la fonction f_p, il est naturel de faire intervenir f_p. Surtout si on veut faire une intégration par parties. D'ailleurs, on ne fera pas une intégration par parties, mais q intégrations par parties successives. Je te conseille de réaliser la première intégration par parties,

u' est la dérivée p-ième de f_p
v est la dérivée q-ième de f_q
Il faudra vérifier que le terme entre crochets est nul (c'est ce qu'explique la justification)

Ensuite, cela te permettra de voir ce qui se passe lorsqu'on applique q intégrations par aprties successives ...

Posté par
robby3re : Systeme de classes de fonctions polynomiales 09-05-08 à 22:15

Merci Perroquet,je regarde ça plus attentivement demain
A demain donc

Posté par
fusionfroidere : Systeme de classes de fonctions polynomiales 09-05-08 à 22:16

Tu vas regarder californication ?

Posté par
robby3re : Systeme de classes de fonctions polynomiales 09-05-08 à 23:49

Citation :
Tu vas regarder californication ?

>
non non j'ai été revoir mon cours....

Posté par
robby3re : Systeme de classes de fonctions polynomiales 10-05-08 à 11:13

Citation :
u' est la dérivée p-ième de f_p
v est la dérivée q-ième de f_q

>rien que ça déjà...

j'ai \rm u'=\frac{d^p}{dt^p}(1-t^2)^p \\ u=\frac{d^{p+1}}{dt^{p+1}} (1-t^2)^?

\rm v=\frac{d^q}{dt^q}(1-t^2)^q \\ v'=(-2tq)\frac{d^{q-1}}{dt^{q-1}} (1-t^2)^q ???

j'ai un peu de mal
j'ai la trés grande impression que j'ai écrit n'importe quoi!

u=\Bigint \frac{d^p}{dt^p}(1-t^2)^p=\frac{d^{p+1}}{dt^{p+1}} \frac{(1-t^2)^{p+1}}{p+1}??
pff je crois pas non plus...

\Bigint u^n=\frac{u^{n+1}}{n+1} pourtant

quelqu'un peut-il m'éclairer s'il vous plait,je me suis perdu

Posté par
perroquetre : Systeme de classes de fonctions polynomiales 10-05-08 à 11:17

u' est la dérivée p-ième de f_p. On peut donc choisir pour u la dérivée (p-1)-ième de f_p.
v est la dérivée q-ième de f_q. Donc, v' est la dérivée (q+1)-ième de f_q

Posté par
robby3re : Systeme de classes de fonctions polynomiales 10-05-08 à 11:26

trop de mal!!
désolé.

Donc on a ça

[f_p^{(p-1)}.f_q^{(q)}]_{-1}^1-\bigint_{-1}^1 f_p^{(p-1)}.f_q^{(q+1)} dt

on sait que f_p^{(p)} s'annule en -1 et en 1 donc toutes les dérivées jusqu'à (p-1) s'annulent en 0 et en 1
de meme pour f_q^{(q)}
donc le truc entre crochet fait bien 0...
il me reste -\Bigint_{-1}^1 f_p^{(p-1)}.f_q^{(q+1)} dt
donc je refait une Ipp...je vois bien qu'au bout de q ipp successives j'obtiens:
(-1)^q.\Bigint_{-1}^1 f_p^{(p-q)}.f_q^{(2q)} dt
ensuite que fait-on?
on continue encore par des IPP??

Posté par
perroquetre : Systeme de classes de fonctions polynomiales 10-05-08 à 11:34

D'abord une erreur à rectifier

Citation :
on sait que  f_p^{(p)}  s'annule en -1 et en 1 donc toutes les dérivées jusqu'à (p-1) s'annulent en 0 et en 1


On sait que f_p est un polynôme admettant pour racines -1 et 1 avec ordre de multiplicité p. On en déduit que f_p et toutes ses dérivées jusqu'à l'ordre p-1 s'annulent en -1 et en 1. Par contre, la dérivée p-ième de f_p ne s'annule pas en -1 et 1.


Ensuite la réponse à la question que tu poses.
f_q est est un polynôme de degré 2q, de coefficient dominant (-1)^q. Donc, la dérivée (2q)-ième de f_q est un polynôme constant, égal à   (-1)^q (2q)!. Et ton message initial (le tout premier, au début du topic) donne la fin du calcul ...

Posté par
robby3re : Systeme de classes de fonctions polynomiales 10-05-08 à 11:48

dans la correction (premier post) quand il dit que la fonction f_p s'annule à l'ordre p en 1 et -1, ça veut dire que p,c'est l'ordre de multiplicté des racines ??

Citation :
Donc, la dérivée (2q)-ième de f_q est un polynôme constant, égal à   (-1)^q (2q)!

>ok d'accord

Posté par
perroquetre : Systeme de classes de fonctions polynomiales 10-05-08 à 11:51

Citation :

dans la correction (premier post) quand il dit que la fonction f_p s'annule à l'ordre p en 1 et -1, ça veut dire que p,c'est l'ordre de multiplicté des racines ??


Oui

Posté par
robby3re : Systeme de classes de fonctions polynomiales 10-05-08 à 11:55

ahh d'accord,j'avais mal comrpris!

donc quand il dit que les dérivées de f_p jusqu'à l'ordre p-1 s'annulent en 0 et 1...il se plante? c'est -1 et 1 non?
tu me dis:

Citation :
toutes ses dérivées jusqu'à l'ordre p-1 s'annulent en -1 et en 1


Posté par
perroquetre : Systeme de classes de fonctions polynomiales 10-05-08 à 12:09

Citation :

donc quand il dit que les dérivées de f_p jusqu'à l'ordre p-1 s'annulent en 0 et 1...il se plante? c'est -1 et 1 non?


Oui

Posté par
robby3re : Systeme de classes de fonctions polynomiales 10-05-08 à 12:13

ok!!
D'accord!
Merci pour tout Perroquet!
pour la suite,c'est bon, je comprend mieux la correction
Merci!


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