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Système de numération: Exercice (2)

Posté par
mathetudiant 23-03-21 à 23:37

Bonjour à tous.

--------L'énoncé-----------------------------------------------------------------------------------
Résoudre dans les équations suivantes:
(E_{1}) : \bar{23}_{(10)}=\bar{27}_{(b)}    ;    (E_{2}) : \bar{136}_{(10)}=\bar{253}_{(b)}
(E_{3}) : \bar{303}_{(10)}=\bar{523}_{(b)}  ;  (E_{4}) : \bar{12551}_{(10)}=\bar{30407}_{(b)}
-------le problème---------------------------------------------------------------------------------
J'ai aucune idée comment résoudre ces équations, je ne sais que de transformer les nombre d'une base en une autre.

Merci

Posté par
matheuxmatoure : Système de numération: Exercice (2) 23-03-21 à 23:42

bonsoir

en écrivant ce que cela veut dire sous forme d'équation plus conventionnelle en base 10

(E1)

23 = 2 b^1 + 7

et b 8

Posté par
mathetudiantre : Système de numération: Exercice (2) 23-03-21 à 23:46

Bonjour matheuxmatou

Oui très bien. Alors je vais utiliser cette méthode.

(E_1) : 23=2b_{1}+7 tel que b \geq 8

Alors on obtient facilement que b_{1}=8.

De meme pour les autres équations, n'est ce pas?

Posté par
matheuxmatoure : Système de numération: Exercice (2) 23-03-21 à 23:50

pas b1

b1

revois ce qu'on appelle l'écriture dans une base de numération !

suivante

Posté par
mathetudiantre : Système de numération: Exercice (2) 24-03-21 à 00:26

matheuxmatou @ 23-03-2021 à 23:50

pas b1

b1

revois ce qu'on appelle l'écriture dans une base de numération !

Ok.

Les suivantes alors.


(E_2) : 136=2 \times b^{2}+5 \times b^{1}+3 et b \geq 5

             Donc: (E_2) : 136=(b+1)(2b+3)

Or: 136=2^3 \times 17

Puisque 2b+3 est impair, alors 2b+3=17 et 2^3=b+1

Ce qui donne b=7.
------------------------------
(E_3) : 303=5 \times b^2+2 \times b+3 et b \geq 5

Alors (E_3) : 5b^2+2 b-300=0

Le discriminant est égale à 6004, 6004 n,est pas un carré parfait alors (E_3) n'admet aucune solution dans
------------------------------
(E_4) : 12551=3b^4+4b^2+7 et b \geq 7

Alors: (E_4) : 3b^4+4b^2-12544=0

Ce qui donne: (E_4) : (3b+\frac{98}{3})(b-64)=0

Donc: b=64
-----------------------------------------------------

En fait, c'est très facile grace à votre aider.

                    merci

Posté par
matheuxmatoure : Système de numération: Exercice (2) 24-03-21 à 00:28

non... pour E2 : b6

il n'y a pas de chiffre 5 en base 5 !

Posté par
matheuxmatoure : Système de numération: Exercice (2) 24-03-21 à 00:31

et revoir E4

Posté par
mathetudiantre : Système de numération: Exercice (2) 24-03-21 à 00:32

Oui oui

Pour (E_2) on a b \geq 6
Pour (E_3) on a b \geq 6
Pour (E_4) on a b\geq 8

Posté par
matheuxmatoure : Système de numération: Exercice (2) 24-03-21 à 00:33

et résous E4 proprement !

Posté par
mathetudiantre : Système de numération: Exercice (2) 24-03-21 à 00:39

Puisque b est un entier naturel, alors il est impossible d'avoir b=-\frac{98}{9}.

Il reste alors un seul cas: b=64.

64 est bien expérieur à 8.

Comme ça?

Posté par
mathetudiantre : Système de numération: Exercice (2) 24-03-21 à 00:41

mathetudiant @ 24-03-2021 à 00:39


64 est bien supérieur à 8.

Posté par
matheuxmatoure : Système de numération: Exercice (2) 24-03-21 à 00:43

1 : ta factorisation est bidon ... d'où peut bien sortir ce 98/3 ????
2 : ton équation est de degré 4 et ta factorisation de degré 2 ...

Posté par
mathetudiantre : Système de numération: Exercice (2) 24-03-21 à 00:49

matheuxmatou

C'est ca mon problème; la concentration.

Alors normalement je dois écrire

mathetudiant @ 24-03-2021 à 00:26


(E_4) : 12551=3b^4+4b^2+7 et b \geq 7

Alors: (E_4) : 3b^4+4b^2-12544=0

Ce qui donne: (E_4) : (3b^2+\frac{98}{3})(b^2-64)=0


Il s'ensuit donc: (E_4) : (3b^2+\frac{98}{3})(b-8)(b+8)=0

De meme, puisque b est un entier naturel et supérieur ou égale à 8, alors: b=8.

Posté par
matheuxmatoure : Système de numération: Exercice (2) 24-03-21 à 00:54

mais cette factorisation est fausse enfin !

64 * (98/3) n'a jamais fait 12544

Posté par
mathetudiantre : Système de numération: Exercice (2) 24-03-21 à 00:54

matheuxmatou @ 24-03-2021 à 00:43

1 : ta factorisation est bidon ... d'où peut bien sortir ce 98/3 ????


C'est ma faute.

le discriminant de (E_4) est égale à: 150544 et son racine carré est 388.

ALors On en déduit la factorisation suivante: 3(b^2+\frac{98}{6})(b^2-64)=(3b^2+\frac{98}{2})(b^2-64).

Posté par
matheuxmatoure : Système de numération: Exercice (2) 24-03-21 à 00:55

développe et tu verras que c'est bidon cette factorisation !

Posté par
matheuxmatoure : Système de numération: Exercice (2) 24-03-21 à 01:01

ah ben ça a changé !

c'est 98/2 = 46 maintenant !

mais c'est toujours faux !

Posté par
mathetudiantre : Système de numération: Exercice (2) 24-03-21 à 01:02

Oui très bien c'est bidon!

à nouveau: (E_4) : 3(b^2+\frac{196}{3})(b^2-64). Ce qui donne (E_4) : (3b^2+196)(b^2-64)

Posté par
matheuxmatoure : Système de numération: Exercice (2) 24-03-21 à 01:02

euh non 49

mais toujours faux !

Posté par
matheuxmatoure : Système de numération: Exercice (2) 24-03-21 à 01:03

ah quand même !

et .... = 0

donc oui, seule solution acceptable : b=8

Posté par
mathetudiantre : Système de numération: Exercice (2) 24-03-21 à 01:07

Oui

mathetudiant @ 24-03-2021 à 01:02

Oui très bien c'est bidon!

à nouveau: (E_4) : 3(b^2+\frac{196}{3})(b^2-64)=0. Ce qui donne (E_4) : (3b^2+196)(b^2-64)=0


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