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systeme + integrale

Posté par mamax (invité) 28-01-05 à 11:25

Montrer qu'il existe a,b deux réels tels que quel que soit x différent de 1 et de 3 :


1 / ( x² -4x +3 )  = ( a/x-1 ) + ( b/x-3 )


En déduire la valeur de
   5
4    dx/( x² -4x +3 )

Posté par
isisstruiss
re : systeme + integrale 28-01-05 à 11:45

La partie 1 me semble claire, et c'est facile à résoudre " à l'envers". Tu mets \frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-3} au même dénominateur et tu choisis a et b pour que le numérateur soit 1. (Systhème à 2 équations et 2 inconnues.) Le dénominateur sera automatiquement x² -4x +3, c'est fait pour.

Pour la partie 2 tu dois évidement remplacer 1/(x² -4x +3) par la forme a/(x-1)+b/(x-3) que tu auras trouvé, et ce sera plus facile à intégrer.

Petit rappel: \int\frac{1}{x}dx=\ln(x)

Isis

Posté par mamax (invité)re 28-01-05 à 13:08

Merci isisstruiss

mais pour la 1ere question j'avais bien compris que je devais avoir un systeme de 2 équoition avec mes 2 inconnues mais en faite j arrive pas a trouver ma 2ème équoition
j'ai pour la 1ere :  ax - 3a + bx - b = 1
la 2ème ????????????:?

Pour la 2em question merci pour ton rapel sa ira avec sa...

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : systeme + integrale 28-01-05 à 13:47

1 / ( x² -4x +3 )  = ( a/(x-1) ) + ( b/(x-3) )

1 / ( x² -4x +3 )  = [a(x-3)+b(x-1)]/[(x-1 )(x-3)]

1 / ( x² -4x +3 )  = [x(a+b) -3a-b]/(x² -4x +3)

-> 1 = [x(a+b) -3a-b]

En identifiant les 2 membres, il vient le système:

a+b = 0
-3a-b = 1

Qui résolu donne: a = -1/2 et b = 1/2

-> 1 / ( x² -4x +3 )  = -(1/2).(1/(x-1)) + (1/2).( 1/(x-3))
-----
Sauf distraction.  

Posté par
isisstruiss
re : systeme + integrale 28-01-05 à 13:47

Les deux équations viennent de celle-là. On voudrait que ax - 3a + bx - b = 1 soit vraie indépendament de x. Si j'écris cette équation autrement j'ai x(a+b)+(-3a-b)=1 on peut deviner les deux équations:
\{\array{a+b=0\\-3a-b=1}\.

Isis

Posté par mamax (invité)re : systeme + integrale 30-01-05 à 16:45

merci ...



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