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système numération en base b
Bonjour, je voudrais démontrer le théorème suivant :
" Soit b un entier naturel superieur ou egal à 2, pour tout a entier naturel non nul, il existe un unique (n+1) uplet verifiant:
.
.
. "
Merci de me donner la demo car je trouve rien de bien sur internet !
en fait j'ai bien une demo par recurrence sur n mais elle est limite incomprehensible ...
je n'ai pas dit une récurrence sur n, mais sur a !
Plus précisément, ça va être une récurrence forte.
oui c'est bien cela
mais je ne vois pas comment faire la demo ...
une recurrence forte c'est bien le fait que pour démontrer la propriété au rang suivant il faut la supposer vraie pour tous les rangs inférieurs
La récurrence, c'est tout le temps la même chose.
On va d'abord faire l'existence par récurrence, et pour l'unicité, on verra après.
Pour a=1, l'existence est évidente car on a avec
.
On suppose donc la propriété vraie jusqu'au rang a et montrons-là au rang a+1.
A ce niveau, en faisant la division euclidienne de a par b tu devrais pouvoir conclure.
Kaiser
je ne comprends pas pourquoi on fait une recurrence sur a car on veut obtenir à la fin
On a+1=+1 par HR
et apres on fait comment la div eclidienne de a+1 par b
En fait, on n'applique pas l'hypothèse de récurrence à l'entier a mais à un entier qui est strictement inférieur à a+1 (d'où l'utilité de la récurrence forte).
Ce n'est qu'après avoir effectué la division euclidienne de a+1 par b qu'il faut appliquer l'hypothèse de récurrence.
D'ailleurs, quand je disais "faire la division euclidienne", comprends plutôt "applique le théorème de la division euclidienne".
Kaiser
désolée de ne pas avoir repondu mais j'avais une course à faire...
bref je ne vois toujours pas comment faire avec cette recurrence forte en revanche j'ai trouvé cette démo :
" Si a et b sant des entiers naturels tels que b>1 et a>0, la division euclidienne de a par b s'ecrit où
effectuons alors la div euclidienne de par b
où
on peut alors continuer ce principe de division tant que le reste obtenu n'est pas nul.
On construit ainsi deux suites (qn) et (rn) où (qn) decroit. comme c'est une suite d'entiers, il y a un terme qn qui est inferieur à b en valeur absolue donc egal a son reste rn dans la div eclidienne par b.
en reportant les calculs effectués on a:
et on obtient le theoreme sauf que je ne comprends pas le passage de la derniere egalite...
s'il est possible de quand meme m'expliquer la solution avec la recurrence forte je serais vraiment satisfaite ! merci
le premier c'est ok mais pour la suite je veux bien une redaction si possible ... merci
s'il s'agit de alors pourquoi c'est cela car en fait je comprends pas cela "il y a un terme qn qui est inferieur à b en valeur absolue donc egal a son reste rn dans la div eclidienne par b."
Je suppose donc l'hypothèse de récurrence vraie jusqu'au rang a.
Montrons qu'elle est vraie au rang a+1.
Effectuons la division euclidienne de a+1 par b.
Il existe donc q et r deux entiers vérifiant :
.
Comme b est supérieur ou égal à 2, alors q est clairement strictement inférieur à a+1
1er cas : si q est nul, alors on a et le résultat est acquis. (r est non nul car a+1 est au moins égal à 1)
2ème cas : si q est non nul, on peut lui appliquer l'hypothèse de récurrence forte. Plus précisément, il existe des entiers compris entre 0 et b-1 avec
non nul tels que
Ainsi, on a avec
et
pour i compris entre 1 et n+1.
De plus, tous les sont compris entre 0 et b-1 et on a
D'où le résultat.
Kaiser
Il est dit que tant que n'est pas nul, la suite
décroit strictement. Comme il s'agit d'entiers, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite, sont inférieurs ou égaux à b.
On a donc l'existence d'un entier n tel que (supposons que ce soit le plus petit entier vérifiant cette inégalité).
On a donc .
super merci beaucoup ...
mais le seul truc que je capte pas c'est pourquoi on travaille à la fois avec a+1 et n+1 je pensais qu'il n'y en avait que un qui augmentait...
c'est quand meme terrible mais je ne vois pas pourquoi disparait et le pire c'est que c'est marqué dans les explications...
et l'unicité des est donnée par l'unicité de la division euclidienne ?
mais le seul truc que je capte pas c'est pourquoi on travaille à la fois avec a+1 et n+1 je pensais qu'il n'y en avait que un qui augmentait...
Si tu veux, pour ne pas confondre avec le n de l'énoncé, on peut utiliser à la place la lettre m et dire que
c'est quand meme terrible mais je ne vois pas pourquoi
Comme
et l'unicité des
On peut le montrer comme ça.
mille merci pour la patience que tu as pu avoir...
mais quand on a quelque chose qui trotte il faut le resoudre sinon on reste avec ça tout le temps en tete et puis avec les oraux du capes qui approche je veux etre le plus precise possible !
bonne soiree
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