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Système paramétré sur un intervalle [10k;10k+9]
Bonjour,
J'avais plusieurs questions relatives à un même sujet :
Q1 :
Comment déterminer les entiers k tels que f(k) = 44k² -396k + 1 soit un entier carré (p²) ?
En posant f(k)=p² et extrayant k de cette équation du second degré, je suis contraint d'essayer différentes valeurs de p pour trouver p=1, p=9, p=21 .
Je voulais savoir s'il y avait un moyen de ne pas tâtonner pour trouver l'ensemble des valeurs de k ?
Q2 :
J'ai à résoudre ce système en k entier et x réel :
Pour x appartenant à [10k; 10k+9]
f(x)=(x²+(1-20k)x)/2 +10k(5k+4)
g(x)=k(x-(5k+4))
trouver k et x tel que f(x)=g(x)
Graphiquement, je trouve k=9 et x={98;99}
Je désirai connaître une résolution plus formelle, académique.
Merci de votre aide et bonnes vacances !
Philoux
Bonjour,
en ce qui concerne le 1):
on peut partir en extrayant les racines du polynôme en question, et on trouve
k étant un entier, on a
ce qui donne
Finalement, on est amené à résoudre (*) (là en somme il n'y a qu'une quarantaine de test à faire, ça se fait vite)
et si P est l'ensemble des solutions de (*) dans [1;44], l'ensemble des p qui conviennent est
sauf erreur
Merci la brintouille
Pour Q2, des amateurs ?
Philoux
Salut,
j' ai la méthode mais pas la solution car j ai du faire une erreur de calcul et le calcul est tres long.
tu ecris f(x)=x(x+1)/2+10g(x) et donc lorsque tu ecris f(x)=g(x) tu peux en deduire que g(x)=x(x+1)/22
ainsi tu ecris que une equation en x et k.
ensuite tu resous l equation du second degres en x pour obtenir x en fonction de k
une fois ca fais tu ecrit 10k<x et x<10k+9et tu remplace x par l equation en k
enfin en resolvant ces deux inequations tu vas trouver plusieurs intervalles et l entier qui se trouvera dans chacun des intervalles sont les valeurs de k ensuite tu n'as plus qu a remplacer k dans ton equation en x et le tour est joué.
@+
PS tu n as pas vu une solution evidente : k=0 et x=0
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