x²-y² = 2.V2
xy = V2

y = V2/x

x² - (2/x²) = 2V2
x^4 - (2V2)x² - 2 = 0

Poser x² = t (t > 0)
t² - (2V2)t - 2 = 0

t = V2 +/- V(2+2)
t = V2 +/- 2

mais comme t > 0, on a t = 2 + V2

x² = 2+V2
x = V(2+V2)
y = V2/V(2+V2)
-----
Z=2.e(i[pi/8])
Z² = 4.e(i[pi/4])
Z² = 4.(cos(Pi/4)+i.sin(Pi/4))
Z² = (4/V2).(1+i)
Z² = (2*2/V2).(1+i)
Z² = 2V2.(1+i)

Z = x+iy
Z² = x²-y²+2ixy

-> on a le système:
x²-y² = 2V2
2xy = 2V2

soit

x²-y² = 2V2
xy = V2
et donc d'après le début de l'exercice:
x = V(2+V2)
y = V2/V(2+V2)
---
Or Z=2.e(i[pi/8]) = 2(cos(Pi/8)+i.sin(Pi/8))
et Z = x + iy = V(2+V2) + i.(V2/V(2+V2))

En identifiant les seconds membres des 2 equations ci-dessus, il vient:

cos(Pi/8) = (1/2).V(2+V2)
sin(Pi/8) = (1/2).(V2/V(2+V2)) = 1/[(V2).V(2+V2)] = 1/V(1+2V2)
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Je ne suis pas sûr qu'à la fin, j'ai employé la méthode attendue.
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Sauf distraction.  

MERCI JP

Mais j'ai surtout du mal avec les demonstrations :

cos²a=(1+cos(2a))/2 et sin²a=(1-cos(2a)/2 à demontrer et retrover les resultats de Z==x+iy=2e(i(pi/8))

merci encore par avance car trouver des resultats est plus simple que des les demontrer

merci de trouver la demo, car j'use du brouillon et rien de cohérent !

j'ecris ce message pour le situé en première ligne

pour cos²a= et sin²a=

et retrouver les resultats de Z=

la dernière partie

merci si quelqu'un peu me sortir du gouffre

si on peut me faire la demo  ?

merci