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Niveau école ingénieur
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sytème de 2 équations à 2 inconnues trigo

Posté par
titeuf63
16-02-17 à 13:59

Soit le système de 2 équations à 2 inconnues X, Y (angles en rd) suivant :

a cos X - b sin Y = c      (1)
a sin X - b cos Y = d      (2)

où a, b, c, d sont des réels positifs non nuls.

Quelles sont les solutions X,Y du système ?

(nota : j'ai fait passer -b sin Y dans le second membre de (1) et c dans le premier membre de (1) , idem pour (2) - b cos Y dans le second de (2) puis d dans le premier, puis mis au carré (1) et (2) et additionner (1) et (2) il me reste une seule équation avec une seule inconnue X mais de la forme:

2ac cos X + 2 ad sin X = a^2 + c^2 + d^2 - b^2

ou bien        c.cos X + d.sin X = (1/2a). (a^2+c^2+d^2-b^2)      X= ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : sytème de 2 équations à 2 inconnues trigo 16-02-17 à 15:02

Bonjour,
En élevant au carré (1) et (2) puis en les ajoutant membre à membre, j'obtiens
a2 + b2 - 2ab sin(X+Y) = c2 + d2 .

Posté par
titeuf63
re : sytème de 2 équations à 2 inconnues trigo 16-02-17 à 16:39

Bonjour,

j'ai maintenant donc deux inconnues avec une seule équation.... dur à résoudre ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : sytème de 2 équations à 2 inconnues trigo 16-02-17 à 16:54

Non, tu as toujours les équations du départ.
Et une équation où il est possible d'isoler X+Y.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : sytème de 2 équations à 2 inconnues trigo 16-02-17 à 17:39

sin(Y) = a.cos(X) - c
cos(Y) = a.sin(X) - d

sin²(Y) + cos²(Y) = (a.cos(X) - c)² + (a.sin(X) - d)²

(a.cos(X) - c)² + (a.sin(X) - d)² = 1

Voila, une seule équation à 1 seule inconnue ...

Soit on se lance dans les calculs, soit, si on a les valeurs numériques de a, c et d, on résout graphiquement ...

Quand on a les valeurs de X ... on en déduit les correspondantes de Y par une des équations du départ.

Juste faire attention, l'élévation au carré pourrait bien générer des solutions parasites ... il faudra donc vérifier si toutes les solutions trouvées conviennent.

Sauf distraction.  

Posté par
alainpaul
re : sytème de 2 équations à 2 inconnues trigo 16-02-17 à 17:54

Bonsoir,

Ici le passage aux complexes ne semble pas marcher,
je tenterais donc ceci:  a=kcos(p) ,b=ksin(p)  afin de retomber sur des formules
trigonométriques connues.


Alain

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : sytème de 2 équations à 2 inconnues trigo 16-02-17 à 19:31

Je ne vois pas de réelles difficultés.

...

(a.cos(x) - c)² + (a.sin(x) - d)² = 1

a² - 2ac.cos(x) + c² + d² - 2ad.sin(X) = 1

a² - 2ac.cos(x) + c² + d² - 2ad.sin(X) = 1

2ad.sin(X) + 2ac.cos(x) = a² + c² + d² - 1

d.sin(x) + c.cos(x) = (a² + c² + d² - 1)/(2a)

...

Posté par
Razes
re : sytème de 2 équations à 2 inconnues trigo 17-02-17 à 00:45

Tu as:
c\cos (X) + d\sin (X) = \frac{1}{2a}(a^2+c^2+d^2-b^2)
Il existe \varphi tel que:

\cos (\varphi )=\dfrac{d}{\sqrt{c^2+d^2}} et \sin(\varphi )=\dfrac{c}{\sqrt{c^2+d^2}}

Donc : \sin(X+\varphi )= \dfrac{a^2+c^2+d^2-b^2}{2a\sqrt{c^2+d^2}}

Ce qui te permet de déterminer X, que tu doit injecter dans ton système pour trouver Y

Posté par
lediletantex
re : sytème de 2 équations à 2 inconnues trigo 17-02-17 à 07:24

Bonjour;

sin\left( Y\right) =\frac{a\,cos\left( X\right) -c}{b}

que devient b?

Posté par
Razes
re : sytème de 2 équations à 2 inconnues trigo 17-02-17 à 08:00

lediletantex @ 17-02-2017 à 07:24

Bonjour;

sin\left( Y\right) =\frac{a\,cos\left( X\right) -c}{b}

que devient b?

a,b,c,d sont des données. Nous avons un système d'équations sous réserve que a et b ne soient pas nuls, car autrement le système deviendrait un simple système à une inconnue.

Posté par
lediletantex
re : sytème de 2 équations à 2 inconnues trigo 17-02-17 à 08:01

Ok ça ne change pas grand chose

Posté par
Razes
re : sytème de 2 équations à 2 inconnues trigo 17-02-17 à 08:04

Si a=0 que devient le système d'équations initial.

Si b=0 que devient le système d'équations initial.

Si a=b=0 on n'a plus de système d'équations.



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