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T.V.I et f_{n}

Posté par
Nijiro 22-10-20 à 15:47

Bonne après-midi,

Soit f une fonction numérique continue sur [0;1] telle que f(0)=f(1).
Pour tout entier n2, on considère une fonction fn définie sur [0; 1-\frac{1}{n}] par: f_n(x)=f(x+\frac{1}{n})-f(x).

1. Calculer : \sum_{k=0}^{n-1}{f_n(\frac{k}{n})}
2. Montrer que: (x0]0;1[); f(x_0)=f(x_0+\frac{1}{n})


---> Pour 1, la somme est égale à 0.
---> Pour 2, je sais qu'on doit utiliser le résultat de la question 1,  la fonction fn et le T.V.I;
J'ai considéré la même fonction donnée fn. Ensuite, j'ai démontré qu'elle est continue sur [0;1]. Il me reste de déterminer le signe de f_n(0).f_n(1) et surement, on va utiliser le résultat de la question 1 mais je ne sais pas d'où commencer ^_^'.

Merci d'avance.

Posté par
Glapion Moderateurre : T.V.I et f_{n} 22-10-20 à 16:00

Bonjour, on ne dit pas que la fonction est positive sur l'intervalle ?

si oui, regarde plutôt le signe de fn(0) et de fn(1-1/n)

Posté par
Nijirore : T.V.I et f_{n} 22-10-20 à 16:17

Tout d'abord, merci pour avoir répondu.
Non, on ne le dit  pas.

Posté par
Glapion Moderateurre : T.V.I et f_{n} 22-10-20 à 16:34

alors faisons autrement.

Puisque la somme des fn(k/n) est nulle il y a forcement dans cette somme des termes positifs ainsi que des termes négatifs.
donc il existe k tel que fn(k/n) >0 et k' tel que fn(k'/n)<0

maintenant regarde le signe de f(0) = f(1/n) soit il est positif soit il est négatif.
s'il est positif tu regardes le signe de fn(x) pour 0 et pour k'/n
s'il est négatif tu regardes le signe de fn(x) pour 0 et pour k/n

et dans l'iun ou l'autre cas tu appliques le TVI

Posté par
Nijirore : T.V.I et f_{n} 22-10-20 à 16:46

Bon, une remarque:
Puisque \sum_{k=0}^{n-1}{f_n(\frac{k}{n})}=0alors les f_n(\frac{k}{n}) ne peuvent pas être tous strictement positifs ou tous strictement négatifs.

Posté par
Nijirore : T.V.I et f_{n} 22-10-20 à 16:47

Effectivement, je n'ai pas vu votre réponse ^^.

Posté par
Nijirore : T.V.I et f_{n} 22-10-20 à 16:55

Glapion @ 22-10-2020 à 16:34


maintenant regarde le signe de f(0) = f(1/n) soit il est positif soit il est négatif.
s'il est positif tu regardes le signe de fn(x) pour 0 et pour k'/n
s'il est négatif tu regardes le signe de fn(x) pour 0 et pour k/n


Autrement dit, si f_n(0)>0, il suffit alors d'étudier fn sur: ]0; \frac{k'}{n}[, comme celui-ci est inclut dans ]0;1[.
si f_n(0)<0,  il suffit alors d'étudier fn sur: ]0; \frac{k}{n}[ ??

Posté par
Glapion Moderateurre : T.V.I et f_{n} 22-10-20 à 16:55

oui c'est bien, tu avais senti qu'il fallait utiliser ça d'une façon ou d'une autre !

Posté par
Glapion Moderateurre : T.V.I et f_{n} 22-10-20 à 16:57

Citation :
Autrement dit, si f_n(0)>0, il suffit alors d'étudier fn sur: ]0; \frac{k'}{n}[, comme celui-ci est inclut dans ]0;1[.
si f_n(0)<0, il suffit alors d'étudier fn sur: ]0; \frac{k}{n}[ ??

oui tout à fait, en montrant dans les deux cas que les bornes sont de signe différent et en appliquant le TVI.

Posté par
Nijirore : T.V.I et f_{n} 22-10-20 à 18:16

Glapion @ 22-10-2020 à 16:57


En montrant dans les deux cas que les bornes sont de signe différent

On considère la fonction f_n définie par:  f_n(x)=f(x+\frac{1}{n})-f(x).
* Etude de continuité (démonstration est facile)..
*
Puisque \sum_{k=0}^{n-1}{f_n(\frac{k}{n})}=0alors les f_n(\frac{k}{n}) ne peuvent pas être tous strictement positifs ou tous strictement négatifs.
Autrement dit:
Il existe un certain k et k' de {0,1,2,...n-1} tels que:
f(\frac{k}{n})>0\\ f(\frac{k'}{n})<0
Alors, si f_n(0)<0, alors il suffit d'étudier fn sur ]0; \frac{k}{n}[ comme celui-ci est inclut dans ]0,1[. En fait, f_n(\frac{k}{n})>0, Ce qui permet d'appliquer T.V.I.
Et si f_n(0)>0  alors il suffit d'étudier fn sur ]0; \frac{k'}{n}[ comme celui-ci est inclut dans ]0,1[. En fait, f_n(\frac{k}{n})<0, Ce qui permet d'appliquer T.V.I.

Posté par
Glapion Moderateurre : T.V.I et f_{n} 22-10-20 à 18:26

oui c'est ça (fn(k'/n) pour le deuxième.

la fonction change de signe donc elle s'annule entre les deux parce qu'elle est continue, etc...

Posté par
Nijirore : T.V.I et f_{n} 22-10-20 à 19:16

Donc c'est bon ^-^. Merci beaucoup Glapion!


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