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Niveau Maths sup
T.A.F (théorème des accroissements finis)
Posté par Zacklryuzaki
Ex 1 :
Soit a,b ϵ R tels que : 0 ≤ a < b
a - Montrer que : 1/(1+b²) < (Arctan(b)- Arctan(a))/(b-a ) < 1/(1+a²)
b - En déduire que : 1/(1+x²) < (Arctan(x))/x <1 ; ∀x >0
Ex 2 :
En appliquant le théorème des accroissements finis montrer que :
∀x <0 Arctan(x)< x/(1+x²)
Que quelqu'un m'explique 
Soit f(x) = Arctan(x)
D'après l'inégalité des accroissements finis, m 
(f(b)- f(a))/(b-a )M
où m et M sont respectivement le minimum et le maximum de f' sur [a,b]. Or f'(x)=1/(1+x²) est décroissante sur 
+ donc atteint son maximum en a et son minimum en b.
On a donc M = 1/(1+a²) et m = 1/(1+b²) ce qui prouve le résultat.
@lafol du coup avec la remarque de lafol, il suffit d'utiliser le résultat montré au 1 :
.
Puis de fixer un et s'intéresser à
...
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