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Tableau de calcul

Posté par petitgenie376 (invité) 28-10-07 à 09:06

Bonjour à tous,

Je viens de reprendre les études et notre groupe à une mise à niveau avant la reprise des courts.
Certaines notions de maths étant un peu loin maintenant je bloque sur l'exercice suivant :
Démontrer le calcul du tableau suivant :
1x8+1=9
12*8+2=98
123*8+3=987
1234*8+4=9876
12345*8+5=98765
Etc.
Je ne vois pas par quoi commencer pour démontrer ce fénomène.
Merci d'avance si quelqu'un peu m'aider.

Posté par
Flo08re : Tableau de calcul 28-10-07 à 10:13

Bonjour,

Il s'agit d'une suite:

U1 = 8 * (1 * 100) + 1 = 9
U2 = 8 * (1 * 101 + 2 * 100) + 2 = 98
...

U_n = n + 8 \Bigsum_{i=1}^{n} i \times 10^{n - i} = n + 8n + 8 \Bigsum_{i=1}^{n-1} i \times 10^{n-i} = 9n + 8 \Bigsum_{i=1}^{n-1} i \times 10^{n-i}

U_{n-1} = n - 1 + 8 \Bigsum_{i=1}^{n-1} i \times 10^{n-1-i}

U_{n-1} - n + 1 = 8 \Bigsum_{i=1}^{n-1} i \times 10^{n-1-i} = 8 \times \10^{-1}\Bigsum_{i=1}^{n-1} i \times 10^{n-i}

U_n = 9n + 10 (U_{n-1} - n + 1) = 9n + 10 U_{n-1} - 10n + 10 = 10 U_{n-1} + 10 - n

On a donc:
U1 = 9
U2 = 90 + 10 - 2 = 98
U3 = 980 + 10 - 3 = 987
...
Et ainsi de suite


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