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Tableau de variation

Posté par
alexre 14-09-22 à 20:58

Bonjour,
\[f(t)={{e}^{-t}}-{{\left( 1-\frac{t}{n} \right)}^{n}}\] où 0 < t<n et n entier naturel

Je dois prouver que la fonction f atteint un max en une valeur tn  >1.

En dérivant on obtient \[f'(t)=-{{e}^{-t}}+{{\left( 1-\frac{t}{n} \right)}^{n-1}}\] et j'ai bien du mal à établir un tableau de variation simplement comme le suggère la correction de cet exercice.

Si vous avez une idée merci de m 'en faire part.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Tableau de variation 14-09-22 à 22:50

Bonjour,
J'ai un doute sur " où 0 < t < n et n entier naturel".
Si n = 0, il y a un blème.
Si n = 1, difficile de parler de tn > 1.

Enoncé à préciser à mon avis.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Tableau de variation 14-09-22 à 23:00

Sinon, peut-être que le signe de f" peut être utile.
A voir.

Posté par
alexrere : Tableau de variation 14-09-22 à 23:29

n ne peut pas être 0 avec 0<t<n

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Tableau de variation 15-09-22 à 08:12

Ni avec n au dénominateur
Mais reste le cas n = 1 où il n'y a pas de maximum.

Posté par
Ulmierere : Tableau de variation 16-09-22 à 13:01

Le cas n = 1 est effectivement à part puisqu'en calculant la dérivée, il est facile de voir que f est croissante sur [0,1] donc atteint son maximum en 1 qui n'est pas < 1.

Lorsque n > 1, on a -f'(t) = e^{-t} - (1-t/n)^{n-1}
et -f''(t) = -e^{-t} -(n-1)(1-t/n)^{n-2}\times(-1/n) = -e^{-t} + (1-1/n)(1-t/n)^{n-2}
et -f'''(t) = e^{-t} +(1-1/n)(n-2)(1-t/n)^{n-3}\times(-1/n) = e^{-t} - (1-1/n)(1-2/n)(1-t/n)^{n-3}

etc

Je conjecture (et il faudra montrer par récurrrence), que

f^{(k)}(t) = -e^{-t} -(-1)^k\prod_{j=1}^{k-1}(1-j/n)(1-t/n)^{n-k}

Les signes des dérivées paires semblent alterner

Posté par
Ulmierere : Tableau de variation 16-09-22 à 13:55

Erreur sur la conjecture : c'est plutôt

(-1)^kf^{(k)}(t) = e^{-t} -\prod_{j=1}^{k-1}(1-j/n)(1-t/n)^{n-k} = e^{-t} -\dfrac{(n-1)!}{(n-k)!n^{k-1}}(1-t/n)^{n-k} = e^{-t} -\dfrac{\binom{n-1}{k-1}(k-1)!}{n^{k-1}}(1-t/n)^{n-k}

Posté par
carpediemre : Tableau de variation 16-09-22 à 15:10

salut

REM : pb avec les inégalités strictes ou larges ... que soulève d'ailleurs Sylvieg
il me semble que travailler avec des inégalités larges simplifie la vie et résout le pb du cas n = 1

une proposition ...

1/ montrer que f est positive sur l'intervalle [0, n]

2/ f continue sur le compact [0, n] donc atteint son max

3/ montrer que f' est (strictement ? (*)) positive sur l'intervalle [0, 1]

(*) n'est pas nécessaire avec ma REM ...

Posté par
luzakre : Tableau de variation 16-09-22 à 18:25

Bonsoir !
On reste sur [0,n].
f'(t) = -e^{-t} + (1-t/n)^{n-1} a même signe que la différence des logarithmes i.e. g(x)=x+(n-1)\log(1-x/n).

On a g'(x)=1-\dfrac{n-1}{n-x}=\dfrac{1-x}{n-x} d'où les variations de g et le signe positif sur [0,1].

Sauf erreur...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Tableau de variation 16-09-22 à 18:44

Ça m'a l'air tout bon luzak
Et on peut faire de même pour démontrer f positive sur l'intervalle [0, n].

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Tableau de variation 16-09-22 à 19:26

Mais est-ce vraiment utile de démontrer f positive sur [0, n] ?

Posté par
carpediemre : Tableau de variation 16-09-22 à 20:24

non je l'ai mis comme ça dans un premier tems parce que j'avais en tête l'idée d'un "pseudo-TVI du max" en même temps :

f(0) = 0
f(1) = 1/e - (1 - 1/n)^n
f(n) = 1/e^n

donc f(0) < f(1) et f(1) > f(n)

d'où un maximum entre 1 et n ... si le point 3/ est vérifié

Posté par
carpediemre : Tableau de variation 16-09-22 à 20:55

et merci à luzak pour son excellente idée !!

Posté par
alexrere : Tableau de variation 16-09-22 à 21:13

Merci pour vos réponses

De mon côté j'ai creusé le pb et je suis arrivé à :
$f'(t)=0\Leftrightarrow -{{e}^{-t}}+{{\left( 1-\frac{t}{n} \right)}^{n-1}}=0\Leftrightarrow {{\left( 1-\frac{t}{n} \right)}^{n-1}}={{e}^{-t}}\Leftrightarrow 1-\frac{t}{n}={{e}^{\frac{-t}{n-1}}}\Leftrightarrow {{e}^{\frac{-t}{n-1}}}+\frac{t}{n}-1=0$
qui conduit à l'étude de $g(t)={{e}^{\frac{-t}{n-1}}}+\frac{t}{n}-1$ .

En tout cas il s'agissait d'une question au CAPES ext. 1982 et la correction de cette partie conduisait directement aux variations de f sans explications. Une correction alors bien incomplète.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Tableau de variation 16-09-22 à 22:15

Bonsoir,
Je traite le cas n 2 en reprenant, en gras, des éléments de plusieurs messages précédents :
f continue sur le compact [0 ; n] donc atteint son maximum noté M.
Il existe au moins un réel a de [0 ; n] tel que f(a) = M.
f'(t) > 0 sur ]0 ; 1] ; donc f est strictement croissante sur [0;1]. D'où a [0 ;1[
La fonction f est dérivable sur [0 ;n] et f'(1) 0 ; donc a 1
Conclusion : a > 1.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Tableau de variation 16-09-22 à 22:29

@alexre,
Correction peut-être incomplète ; mais l'énoncé dans ton message aussi !
J'avais pourtant demandé des précisions.
Extrait :
Tableau de variation

On y voit "tn [1;n]"

Posté par
alexrere : Tableau de variation 17-09-22 à 00:00

Effectivement c etait t>=1  au lieu de t>1. Mais ce n était pas le cœur du pb pour les variations de f.


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