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Taille d'échantillon et théoreme limite central

Posté par
robby3 19-06-08 à 14:34

Bonjour tout le monde,
voilà un exercice qui me pose probleme:

Citation :
Soit \large X une var de moyenne m et d'écart-type \sigma
Soit \large (X_n)_n une suite de var indépendantes de meme loi que \large X; on estime m par \large \bar{X_n}=\frac{1}{n}\Bigsum_{j=1}^{n} X_j \\
1)Justifier l'approximation pour \alpha>0 et n grand:
\large P(|\bar{X_n}-m|\ge \alpha)\sim 1-[\psi(\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\alpha)-\psi(-\frac{\sqrt{n}}{\sigma} \alpha)]
2)Quelle est la taille minimum de l'échantillon pour que \alpha>0 et \beta\in ]0,1[ étant fixés, on ait:
\large P(|\bar{X_n}-m|\ge \alpha)\le \beta


mon soucis c'est que l'utilisation du théoreme central limite ne m'aide pas beaucoup je trouve...

\large \{|\bar{X_n}-m|\ge \alpha\}=\{|\frac{S_n-n.m}{\sqrt{n}\sigma}|\ge \alpha.\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\}

pour moi le theoreme central limite me dit que
\large P(\{|\frac{S_n-n.m}{\sqrt{n}\sigma}|\ge \alpha.\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\})\sim \Bigint_{-\alpha.\frac{\sqrt{n}}{\sigma}}^{\alpha.\frac{\sqrt{n}}{\sigma}} \frac{exp(-\frac{t^2}{2})}{\sqrt{2\pi}} dt

et ensuite bah voilà...
je comprends pas le "1-"
dans l'égalité à démontrer...

Posté par
PILre : Taille d'échantillon et théoreme limite central 19-06-08 à 14:49

Juste une petite remarque Robby, concernant le thm central limite : l'intégrale que tu écris, c'est la proba. d'être entre les limites d'intégration, pas à l'extérieur ... d'ou le "1-" je crois.

Posté par
robby3re : Taille d'échantillon et théoreme limite central 19-06-08 à 14:56

ah tu veux dire c'est la proba du truc \le
??

ah oui c'est exact!!

mais on est bien d'accord que \large \Bigint_{-\alpha.\frac{\sqrt{n}}{\sigma}}^{\frac{\alpha.\sqrt{n}}{\sigma}} \frac{exp(-\frac{t^2}{2})}{\sqrt{2\pi}} dt=\psi(\frac{\alpha.\sqrt{n}}{\sigma})-\psi(-\alpha.\frac{\sqrt{n}}{\sigma})

??

Posté par
robby3re : Taille d'échantillon et théoreme limite central 19-06-08 à 15:08

pour la 2)
j'ai \large n\ge \frac{\alpha^2}{\sigma^2}[\psi^{-1}(1-\frac{\beta}{2})]^2.

par contre \phi^{-1}=??

Posté par
PILre : Taille d'échantillon et théoreme limite central 19-06-08 à 15:57

Est-ce que ce n'est pas

3$\rm n \ge \frac{\sigma^2}{\alpha^2} [\Phi^{-1}(1-\frac{\beta}{2})]^2 ?

Pour Phi-1 quand est donné, on uilise des tables.

Posté par
robby3re : Taille d'échantillon et théoreme limite central 19-06-08 à 16:01

oui exact,j'ai mal inversé...
ok pour les tables!


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