Niveau Maths sup

tan(cotan(x))=cotan(tan(x))

Posté par dilzydils (invité) 18-02-06 à 12:04

Bonjour

Je dois resoudre cette equation, apres qq tentatives, je n'aboutis à rien de concret.

Merci de vore aide

Posté par re : tan(cotan(x))=cotan(tan(x)) 18-02-06 à 13:40

Bonjour,

Déjà, identifie les valeurs interdites.

Ensuite, voici une piste :
$3$\tan\,\mathrm{cotan}\,x= \mathrm{cotan}\,\tan x$
$3$\Longleftrightarrow \tan\left(\frac{1}{\tan x}\right)=\frac{1}{\tan(\tan x)}$
Prends l' $\arctan$ de chaque membre. A quelle condition est-ce possible ? Comment peut-on conserver l'équivalence ?
Puis utilise dans le membre de droite : $3$\arctan\frac{1}{x}=sgn(x).\frac{\pi}{2}-\arctan x$ (est-ce juste ?)
Tu devrais alors aboutir à une équation du second degré en $3$\tan x$

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par re : tan(cotan(x))=cotan(tan(x)) 18-02-06 à 15:05

On cherche à résoudre :
$3$\blue\fbox{\tan\,\mathrm{cotan}\,x= \mathrm{cotan}\,\tan x}$
c'est-à-dire :
$3$\blue\fbox{\tan\left(\frac{1}{\tan x}\right)=\frac{1}{\tan(\tan x)}}$

Par périodicité, on peut se restreindre dans un premier temps à $3$\fbox{\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[}$

Quelles sont les valeurs interdites ?
(1) $\tan x$ doit être défini : OK
(2) $\tan\tan x$ doit être défini
donc $\tan x\not\equiv\frac{\pi}{2}\pmod\pi$
donc $x\not\in\arctan\left(\frac{\pi}{2}+\pi\mathbb{Z}\right)+\pi\mathbb{Z}$
or on s'est restreint aux $x$ dans $\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[$
d'où la condition : $x\not\in\arctan\left(\frac{\pi}{2}+\pi\mathbb{Z}\right)$
(3) $\tan(\tan x)\neq 0$ donc $\tan x\not\equiv 0\pmod\pi$
donc $x\not\in\arctan(\pi\mathbb{Z})+\pi\mathbb{Z}$
or on s'est restreint aux $x$ dans $\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[$
d'où la condition : $x\not\in\arctan(\pi\mathbb{Z})$
(4) $\tan x\neq 0$ donc $x\neq 0$
(5) $\tan\left(\frac{1}{\tan x}\right)$ doit être défini
donc $\frac{1}{\tan x}\not\equiv\frac{\pi}{2}\pmod\pi$
donc $x\not\in\arctan\left(\frac{1}{\frac{\pi}{2}+\pi\mathbb{Z}}\right)+\pi\mathbb{Z}$
or on s'est restreint aux $x$ dans $\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[$
d'où la condition : $x\not\in\arctan\left(\frac{1}{\frac{\pi}{2}+\pi\mathbb{Z}}\right)$

Finalement, on considère les x suivants :
$3$x\in\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[\:\setminus\:\left(\{0\}\:\cup\:\arctan\left(\frac{\pi}{2}+\pi\mathbb{Z}\right)\:\cup\:\arctan(\pi\mathbb{Z})\:\cup\:\arctan\left(\frac{1}{\frac{\pi}{2}+\pi\mathbb{Z}}\right)\right)$
qui se simplifie en :
$3$\red\fbox{x\in\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[\:\setminus\:\left(\arctan(\frac{\pi}{2}\mathbb{Z})\:\cup\:\arctan\left(\frac{1}{\frac{\pi}{2}+\pi\mathbb{Z}}\right)\right)}$

(Ce ne sont pas les solutions. Ce sont justes les valeurs interdites. )

Sauf erreur !

Nicolas

Posté par re : tan(cotan(x))=cotan(tan(x)) 18-02-06 à 16:10

On prend $x$ dans l'ensemble ci-dessus.

$\tan\left(\frac{1}{\tan x}\right)=\frac{1}{\tan(\tan x)}$
$\Longleftrightarrow \tan\left(\frac{1}{\tan x}\right)=\tan\left[\arctan\frac{1}{\tan(\tan x)}\right]$
$\Longleftrightarrow\frac{1}{\tan x}=\arctan\frac{1}{\tan(\tan x)}+k\pi$
(or $\arctan y+\arctan\frac{1}{y}=\mathrm{sgn(y)}\frac{\pi}{2}$ )
$\Longleftrightarrow\frac{1}{\tan x}=\mathrm{sgn}[\tan(\tan x)]\frac{\pi}{2}-\arctan[\tan(\tan x)]+k\pi$
(or le $k\pi$ de la fin annule l'intérêt du $\mathrm{sgn}[\tan(\tan x)]\frac{\pi}{2}=\pm\frac{\pi}{2}$ )
$\Longleftrightarrow\frac{1}{\tan x}=\frac{\pi}{2}-\arctan[\tan(\tan x)]+k\pi$
$\Longleftrightarrow\frac{1}{\tan x}=\frac{\pi}{2}-\left{\tan x\mathrm{ ramen'e dans }\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[\mathrm{ a coup de modulo }\pi\right}+k\pi$
(or le $k\pi$ de la fin annule l'intérêt du "ramené dans $\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[$ à coup de modulo $\pi$ ")
$\Longleftrightarrow\frac{1}{\tan x}=\frac{\pi}{2}-\tan x+k\pi$
$\Longleftrightarrow \tan^2x+\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)\tan x+1=0$
( $\Delta=\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)^2-4\ge 0\Leftrightarrow\left|\frac{\pi}{2}+k\pi\right|\ge 2\Leftrightarrow k\in\mathbb{Z}\setminus\{-1;0\}$ )
$\Longleftrightarrow \tan x=-\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)\pm\frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)^2-4},\quad k\in\mathbb{Z}\setminus\{-1;0\}$
$\Longleftrightarrow x=\arctan\left{-\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{\left(k\pi-\frac{\pi}{2}\right)^2-4}\right},\quad k\in\mathbb{Z}\setminus\{0;1\}$
En toute rigueur, il faudrait vérifier que ces $x$ ne sont pas valeurs interdites.
Grâce à la périodicité, on peut donc proposer l'ensemble solution suivant :
$3$\red\fbox{\arctan\left{-\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{\left(k\pi-\frac{\pi}{2}\right)^2-4}\right}+\pi\mathbb{Z},\quad k\in\mathbb{Z}\setminus\{0;1\}}$

Sauf erreur !

Nicolas