Bonjour,

Pour le premier point, je ne sais pas mais ça m'intéresse

Pour le second point, va voir là

Merci pour le lien mais...j'y étais déjà passé
Je vais essayer d'être plus clair (et faire mes débuts en Latex)
Dans mon cours j'ai cette magnifique formule:

En un point singulier

Avec et B non colinéaire à A et est un point singulier.
Et donc suivant la parité ou non de k et p on peut déterminer la nature des points singuliers.Le problème c'est que je n'arrive pas à retrouver une telle équation dans les exercices...et donc k et p non plus...

Concernant les tangentes fortes et faibles voici les définitions que j'ai du mal à comprendre:

On dit qu'une courbe non localement constante en a une tangente faible en si la droite déterminée par et a une projection limite lorsque tend vers 0.
Elle a une tangente forte en si la droite déterminée par et a une position limite lorsque et tendent vers 0
Désolé pour le retard de ma réponse mais j'ai d'abord cherché comment écrire en Latex afin de rendre tout ça plus clair

Je vois...

Pour le 1er exo, c'est simplement le développement de Taylor vectoriel. Si le terme de degré 1 est non nul, il existe une vraie tangente, le point est régulier. Sinon, les deux premiers termes non nuls te donnent le comportement local en représentation paramétrique dans le repère (A,B).
Regarde par exemple les équations paramétriques suivantes :
x = t, y = t², point régulier
x = t, y = t^3, point d'inflexion
x = t², y = t^3
x = t², y = t^4
x = t^3, y = t^4, etc
Tu vas retrouver comme ça tous les types de point singuliers, et tu vois assez rapidement que ce qui différencie des points (t^m, t^n), ce sont les différences de parité entre m et n...

Pour les tangentes, il faut que tu interprétes géométriquement :
La tangente faible, c'est la position limite d'une corde dont un des points est déjà au point que tu considères, et l'autre point tend vers ce point.
La tangente forte, c'est la position limite d'une corde dont les deux points tendent séparément et indépendamment vers le point que tu considères.
On doit pouvoir fabriquer des courbes suffisamment irrégulières en un point pour qu'elles aient une tangente faible mais pas une tangente forte en ce point. Par exemple, j'examinerais bien la courbe suivante au voisinage de 0 :
x = t
y = exp(-1/t²).sin(1/t)
Avec un peu de chance, le terme exp(-1/t²) écrase suffisamment la courbe pour avoir une tangente faible en t=0, et le terme sin(1/t) fait suffisamment osciller la pente d'une corde dont les 2 points se rapprochent indépendamment de (0,0) pour qu'il n'y ait pas de pente limite, donc pas de tangente forte.

A suivre

Ok alors si j'ai bien compris une tangente forte ça serait une tangente à un point de la courbe définie par (acos(t),asin(t)) par exemple et une tangente faible serait comme une tangente au niveau d'un point de rebroussement?

Par contre je n'ai pas très bien compris pour le développement de Taylor vectoriel...donc si j'ai par exemple une courbe définie par (t²,t^3) alors c'est un point d'inflexion?Mais comment retrouve t-on le 2 et 3 dans le développement de Taylor?
Et dans le cas où la courbe n'est pas définie par des fonctions polynomiales comment fait-on?

Merci d'avance!

C'est pas tout à fait ça...

Une tangente forte en un point qu'on va appeler M : tu prends 2 points quelconques A et B de la courbe, tu considères la droite passant par A et B, et tu fais tendre A et B indépendamment "n'importe comment" vers M. Si la droite a une position limite quelque soient les façons dont A et B tendent vers M, alors cette position limite est une tangente forte.

Une tangente faible en M : tu reprends la définition précédente, mais tu fixes A en M d'emblée, et tu fais seulement tendre B vers M. Si la droite a une position limite quand B tend vers M, alors cette position limite est une tangente faible.

Tu vois bien que toute tangente forte est faible, mais pas réciproquement.

Pour le développement de Taylor vectoriel, disons pour simplifier que tu fais un développement limité de chaque composante à un certain ordre, et tu les regroupes. Le coordonnées de la courbe n'ont donc pas besoin d'être polynomiales, il suffit que les développements limités existent.

Par exemple, si ta courbe est (X(t), Y(t)), et tu développes autour du point pour t=t0, tu as quelque chose comme :
X(t) = X(t0) + a(t-t0) + b(t-t0)² + c(t-t0)^3 +...
Y(t) = Y(t0) + d(t-t0) + e(t-t0)² + f(t-t0)^3 +...
D'où, en écrivant les vecteurs "à plat" (et tant pis pour LaTex) :
(X(t),Y(t)) = (X(t0),Y(t0)) + (a,d)(t-t0) + (b,e)(t-t0)² + (c,f)(t-t0)^3 +...
Si le point (X(t0),Y(t0)) est régulier, alors le vecteur (a,d) sera non nul.
Si (a,d) est non nul, (b,e) est non nul,le point sera ordinaire
Si (a,d) est non nul, (b,e) est nul, (c,f) est non nul, alors le point sera d'inflexion, etc

Pour reprendre ton exemple (t², t^3), les développements limités autour de 0 sont "tout faits", tu as a=0, b=1, c=0, d=0, e=0, f=1, et tous les termes de degré > 3 sont nuls.
donc (a,d) est nul, ce n'est pas un point régulier. On peut en dire un peu pluss :
La pente est y/x = t, elle est nulle à l'origine.
Pour t -> 0+, x et y sont > 0. Pour t -> 0-, x est > 0 et y est < 0. Reprends l'article de Wikipedia, tu verras que c'est un point de rebroussement de 1ère espèce.

A suivre...

Au lieu de :
Si le point (X(t0),Y(t0)) est régulier, alors le vecteur (a,d) sera non nul
Il vaut mieux dire :
Si (a,d) est non nul, alors le point (X(t0), Y(t0)) est dit "régulier"

Hmm ok je crois que ça commence à rentrer!Merci beaucoup pour toutes ces explications qui vont m'être bien utiles et pour le temps passé à m'aider!Je vais pouvoir avancer dans mon cours avec l'esprit libre!D'autant plus que mes partiels approchent dangereusement!!(lundi)
Encore une fois merci beaucoup!
Je vous souhaite une bonne fin de soirée!

Bon courage pour les partiels !

Lehibou