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tangentes orthogonales
bonjour,
soit la parabole d'equation y=x²/2p , p réel positif.
Déterminer le lieu des points d'où l'on peut mener deux tangentesa la parabole,orthogonales.
Alors je sais que l'équation de la tangente en M1 est y+y1=xx1/2p
Donc le vecteur directeur u est (-1;-x1/2p)
Et l'equation de la tangente en M2 est y+y2=xx2/2p
Donc le vecteur directeur v est (-1;-x2/2p)
Et on veut que ces deux tangentes soit orthogonales donc u.v=0
Seulement, qd je le fais je trouve 1+x1x2/4p²=0 .
Je dois avoir oublié des conditions, mais je ne vois pas lesquelles.
Merci de votre aide
Attention, la tangente au point M1 (x1,y1=x1²/2p) a pour équation
y-y1=x1(x-x1)/p ou y+y1=x1x/p (et non /2p !)
Les tangentes en x1 et x2 sont orthogonales si x1x2+p²=0
Posons x1=t, y1=t²/2p et x2=-p²/t et y2=p^3/2t²
donc y=tx/p-t²/2p et y=-px/t-p^3/2t²
pty=t²x-t^3/2 et pty=-p²x-p^4/2t
donc x=(t^4-p^4)/2t(t²+p²) soit x=(t²-p²)/2t et y=(t²-p²)/2p-t²/2p=-p/2
Le lieu cherché est donc la droite y=-p/2...
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