Bonsoir

As-tu vu Taylor-Lagrange?

je ne sais pas jai pas mal de formule sur taylor toute assez compliqué a cerné il est possible que jai celle que tu dis mais jai pas les nom...

Bonsoir,

développe ln(e+h) à l'ordre 2 sur [0;3-e] puis majore la distance de ln(e+h) à 1+(h/e) par (h²/2).max {|ln"(x)|, x dans [e;3]}.

Puis remplace h par 3-e.

Salut Nightmare!

desole jarrive pas a comprendre comment ca marche..

Sais-tu développer ln(e+h) à l'ordre 2 ?

ben d'apres le cours on peut developper dapres un point a...
pour a appartient a [0 , 3-e] on a :

ln (e+h) = ln (e+a) + (1/(e+a)) * (h-a) + (-1/(e+a)²)/2 * (h-a)²...

mais jvois pas du tout ce que ca represente..

C'est faux, ton a vaut e ici, donc

ln(e+h) = ln(e) + h.ln'(e) + (h²/2)ln"(e+th) avec t entre 0 et 1.

moi jconnais ln (e+h) = ln (e) + h * ln'(e)... quand h tend vers 0 mais ce que tu ecrit jarrive pas a le visualiser...

C'est simplement f(a+h) = f(a) + hf'(a) + h²/2 f"(a+th) (Taylor-Lagrange à l'ordre 2 en a avec h->0),

avec ici f = ln et a =e.

moi j'ai une formule qui dit soit f derivable n+1 fois sur [a,b] alors il existe c apartenant a ]a,b[ tel que

f(b) = f(a) + f'(a) * (b-a) + (f"(a)/2) * (b-a)² + ... + (derive nieme f(a)/n!) * (b-a)^n + (derive n+1 eme f(c)/(n+1)!) * (b-a)^n+1

mon b est egale a ton a+h mais on ne dis pas que a-b tend vers 0 dans cette formule.. c = a+th avec t appartient a [0,1] donc c entre a et b ...

Tu as entièrement raison, on n'impose pas que h tend vers 0, cependant plus h est petit, meilleure sera l'approximation puisque c (qu'on ne connaît pas) est d'autant mieux cerné que b-a est petit.

Bon donc tu es d'accord avec ce que j'ai écrit?

ok jcrois que jai compris pour lexercice
on calcul la dérivé seconde de ln  ce qui nous donne:

-1/x²

donc pour x sur [e,3] (croissante sur R+)
on a -1/e² f"(x) -1/9

d'apres taylor on a

ln(3) = ln (e) + ln'(e) * (3-e) + (ln"(c)/2) * (3-e)²
avec c apppartient a ]e,3[
donc dapres plus haut on a

-1/e² ln"(c) -1/9
donc (3-e) positif donc

(-1/e²)/2 * (3-e)² (ln"(c)/2) * (3-e)² (-1/9)/2 * (3-e)²

donc

(-1/e²)/2 * (3-e)² + ln'(e)*(3-e) +ln(e) (ln"(c)/2) * (3-e)² + ln'(e) * (3-e) + ln(e) (-1/9)/2 * (3-e)² + ln'(e) * (3-e) + ln(e)

dou lencardrement de ln3:

(-1/e²)/2 * (3-e)² + ln'(e)*(3-e) +ln(e) ln(3) (-1/9)/2 * (3-e)² + ln'(e) * (3-e) + ln(e)
...

c'est bien ca?!

OK c'est juste!

Maintenant il y a plein de choses que tu peux simplifier!

ln(e)=1, ln'(x) = 1/x, donc ln'(e)=1/e, et

(-1/e²)/2 = -1/(2e²).

ok héhé
je crois que jai compris ce que dis taylor cette fois ^^
si jai bien tout compris le theoreme des accroiseement finis decoule du theoreme de taylor dordre 1...

merci pour ton aide tig ca ma beaucoup aider!!

Avec plaisir freddou06!

Rien de tel que pratiquer les maths pour les comprendre!

Par contre c'est plutôt Taylor qu'on prouve à l'aide du TAF, par une récurrence généralisante.

Après, on peut voir le TAF comme un cas particulier de Taylor-Lagrange (à l'ordre 1), mais le TAF se démontre simplement à partir du Lemme de Rolle.