Bonjour,

Voici trois exemples d'applications :

1) Montrer que
2) on pose : . Montrer que pour tout x :
On peut aussi montrer que f converge uniformément vers exp sur un intervalle [0,a]. Ceci dit vu que c'est un exo de sup, en spé il est un peu ridicule puisque c'est justement la définition que l'on donne à l'exponentielle. Mais on prétend ne pas le savoir et on résout cela simplement connaissant le DL d'exponentielle en quelques sortes.
3) Une application encore plus classique : montrer que :

Ok pour ces ex

en fait, je n'ai pas bien posé la question

je cherche un ex utilisant la formule TRI ou les autres formules de fonctionne pas (FTL et FTY) pour mettre en évidence que la connaissance de la forme du reste (est intéressante) est plus poussée sur TRL que sur TY et TRL

Taylor Young c'est une formule locale qui n'est vrai que dans un voisinage. Donc dans les trois exemples c'est sûr qu'elle ne suffit pas.
Quant à Taylor Lagrange je ne suis pas bien sûr qu'elle suffise ici, mais peut être que je me trompe. En tout cas si elle ne suffit pas c'est sûr que ça se joue pas à grand chose. Je suis d'accord pour dire que le 3 formules sont assez proches, et je n'ai pas d'exemples qui différencie tout à fait. Désolé.

Ok pour TY.

Je pense que TRI ou TL conviennent pour les 3 ex ci-dessus.

Dans TRI on suppose f(n+1) continue ce qui n'est pas le cas pour TL
Il me semble donc qu'il faut trouver un ex où la continuité de la dernière dérivée joue un rôle ...
pour être intégrable par ex ?

Mais effectivement pour l'instant je ne trouve pas non plus ...

Bonjour,

Voici un exemple où la formule de Taylor avec reste intégral est supérieure: le calcul du DSE de .
avec .

On écrit .
Avec (par étude de la fonction homographique) on déduit qui tend vers 0 pour (par exemple avec la règle de d'Alembert).

Désolé mais j'ai justement trouvé la formule du binome de Newton cet après-midi et il est AUSSI résolu avec la FTL :

le reste est rn(x)=Kn*x^(n+1)*(1+teta*x)^(alpha-n-1)
où Kn est le coef que vous donnez

je prends a = alpha dans mes notations

pour abs(x)<1

lim Kn*x^(n+1)=0 comme conséquence de lim (an+1/an)=0 => lim an= 0

il suffit donc de montrer que (1+teta*x)^(alpha-n-1) est borné

pour alpha>=0 1=<(1+teta*x)^alpha=<(1+x)^alpha=<2^alpha
pour alpha<0 1>=(1+teta*x)^alpha>=(1+x)^alpha>=2^alpha

et (1+teta*x)^-n=< 1

l'etude est donc prouvée pour 0<x<1

pour x<0, le reste de cauchy dans la formule de taylor est :
rn(x)=Kn*x^(n+1)*(1-teta)^n*(1+teta*x)^(alpha-n-1)

comme précédemment,

(1-teta)^n =< ( (1-teta)/(1+teta*x) )^n < 1

pour alpha<=1 1=<(1+teta*x)^alpha-1=<(1+x)^alpha-1
pour alpha>=1 (1+x)^alpha-1<=(1+teta*x)^alpha-1<=1

c'est gagné et cela conclut la démo

il faut donc trouver un autre ex !!!

Bonjour Obelix,

Merci pour cette démonstration. Je ne connaissais pas la formule de Taylor-Cauchy.
Pourtant elle se démontre simplement à partir de la formule de Taylor reste intégral en écrivant que pour qui est continue sur [a,b] on peut écrire avec .

Elle permet (comme dans la formule de Taylor reste intégral) de faire apparaitre la fonction homographique qui est majorée en valeur absolue par .

Cependant cela ne contredit pas ce que je disais: la formule de Taylor-Lagrange ne permet pas de démontrer le DSE de pour .