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taylor lagrange

Posté par j4p4n3ze (invité) 30-07-05 à 10:07

[/sup][sup]Voila j'ai un exo sur Taylor lagrange mais je ne l'ai pas étudié cette année donc pour moi cet exo c'est un peu comme du jamaicain, je ne comprend pas grand chose.

soit f la fonction définie sur R par f(t)=cos t
1°)détermine les dérivées d'ordre 1,2,3,4,5 de la fonction f.
Bon ca je pense que j'ai réussi

2°)Soit x un réel strictement positif.appliquer à f la formule de Taylor avec reste à l'intégrale à l'ordre 4,entre 0 et x, puis les inégalités de Taylor-Lagrange après avoir minoré et majoré sur l'intervalle [0;x] la dérivée d'ordre 5 de la fonction f.

Euh,KESKECKECA?

3°)En déduire que limx--->0 (cos (x) -1+x²/2)/x4=1/24

4°)soit n un entier naturel non nul.Montrer, par récurence sur n, que la dérivée d'ordre n de f vérifie:

t,f(n)(t)=f(t+((n)/2))
(la fontion  notée f(n) est la fonction dérivée d'ordre n de la fonction f)

5°)En déduire que pour tout entier naturel p non nul, on a:

f(2p)(0)=(-1)p  et f(2p+1)(0)=0

6°)Soit x un réel strictement positif.Démontrer, en appliquant a f les inégalités de Taylor-Lagrange à l'ordre 2n+1, que:

-((x2n+2)/(2n+2)!)cos (x) -p=0 n (((-1)px2p)/(2p)!)((x2n+2)/(2n+2)!)

HORRIBLE

7°)En déduire la limite de -p=0 n(((-1)p)/(2p)!) quand n tend vert +inf

8°)Déterminer un nombre rationel tel que

-10-4cos 1 +10-4

Si l'on pouvait m'aider à résoudre cet exo merci.

Posté par
ottore : taylor lagrange 30-07-05 à 10:16

Bonjour,
je crois que tu t'attaques à des exercices dont le niveau te dépasse.
Si tu ne connais pas les deux formules de Taylor que tu dois utiliser, alors laisse tomber.

Sinon 4-5-7-8 sont faisables sans connaître les formules de Taylor.
A+

Posté par
ottore : taylor lagrange 30-07-05 à 10:24

Si tu veux trouver les formules de Taylor, voilà qui t'aidera à faire ton bonheur:
http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./t/taylorformules.html

Posté par j4p4n3ze (invité)re : taylor lagrange 30-07-05 à 10:31

je les connais les formules mais je n'aarive pas "à les mettre en pratique" donc avec un petit coup de pouce...

Posté par
ottore : taylor lagrange 30-07-05 à 10:50

Alors je ne vois pas où est le problème, il suffit de se laisser guider par l'énoncé:
f(x)=f(0)+f'(0)(x-0)/1+f''(0)(x-0)^2/2+f^{(3)}(0)(x-0)^3/3!+\int_{0}^{x}f^{(4)}(u)(x-u)^{4}du/4!
C'est à dire
f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)x^2}{2}+\frac{f^{(3)}(0)x^3}{3!}+\int_{0}^{x}\frac{f^{(4)}(u)(x-u)^{4}du}{4!}

Tu as juste à remplacer par les valeurs trouvées.

Tu fais la même chose pour la formule de Lagrange:
f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)x^2}{2}+\frac{f^{(3)}(0)x^3}{3!}+\frac{f^{(4)}(0)x^{4}}{4!}+\frac{f^{(5)}(c)x^{5}}{5!}
avec c tel que 0<c<x
Bien sur, il faut vérifier que l'on est bien dans les conditions d'utilisation des théorèmes.
Puisque la dérivée 5e du cos est -sin qui est bornée , tu te retrouves en fait avec une majoration du type:
|f(x)-f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)x^2}{2}+\frac{f^{(3)}(0)x^3}{3!}+\frac{f^{(4)}(0)x^{4}}{4!}| \leq \frac{1}{5!}

Sauf erreur de ma part.
A+

Posté par j4p4n3ze (invité)re : taylor lagrange 30-07-05 à 11:11

ok je vois merci otto

Posté par
ottore : taylor lagrange 30-07-05 à 11:33

Erreur de ma part, il faut lire <x^5/5! et non <1/5! dans la dernière inégalité, sinon ca ne colle pas, et il suffit de prendre x grand pour que l'on voit que c'est faux.

Posté par j4p4n3ze (invité)re : taylor lagrange 30-07-05 à 12:34

Je n'arrive a trouver comment faire la 6eme question.Si quelqun a une piste?

Posté par
cqfd67re : taylor lagrange 30-07-05 à 12:48

salut,

|f(x)-sum(f^(k)(0)*x^k/k!,k=0..2*n+1)|<x^(2n+2)/(2n+2)!

en utilisant la question 5, on a ce qu'on veut

Posté par j4p4n3ze (invité)re : taylor lagrange 30-07-05 à 12:49

ok merci je vais m'y remettre en espérant y arriver

Posté par j4p4n3ze (invité)re : taylor lagrange 30-07-05 à 15:24

j'ai réussi la....3eme question...seulemenat la 3eme question.

Est -ce qu'on pourrait me montrer comment faire la 4-5 et 6 merci d'avance

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : taylor lagrange 30-07-05 à 16:19


Allez, accroche-toi !

Pour la 4°, on te demande de montrer par récurrence que :
\forall{n\in\mathbb{N}}, P(n) : f^{(n)}(t)=cos(t+\frac{n\pi}{2})

P(0) est vraie.
Pour passer de P(n) à P(n+1), tu peux remarquer que :
cos'(x)=-sin(x)=cos(x+\frac{\pi}{2})

Nicolas

Posté par
ottore : taylor lagrange 30-07-05 à 16:25

4 se fait par récurrence, et au pire tu as juste à remarquer que -sin(x)=cos(x+Pi/2) et que -cos(x)=cos(x+Pi).
(sauf erreur possible dans les formules trigo)
Tu as terminé la question.
La 5 se fait facilement en remplaçant x par 0 et en remarquant que cos(0)=1 et que sin(0)=0.
La 6 se fait exactement comme la question 2 sauf que tu remplaces l'ordre 5 dans la formule de Taylor-Lagrange par l'ordre n+2.

Posté par j4p4n3ze (invité)re : taylor lagrange 01-08-05 à 15:00

rebonjour

malgè tes indications otto, je ne parviens pas a faire les 4 dernières questions.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : taylor lagrange 01-08-05 à 15:07

... c'est-à-dire 5) 6) 7) 8) ?
La 4), c'est bon ?

Nicolas

Posté par j4p4n3ze (invité)re : taylor lagrange 01-08-05 à 15:14

oui c'est cela

La 4 c'est bon je pense

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : taylor lagrange 01-08-05 à 15:19


5°) Dans la question 4°), tu as montré que
f^{(n)}(t)=cos(t+\frac{n\pi}{2})

Maintenant, on te demande de calculer f^{(2p)}(0).
Il suffit... de remplacer :
f^{(2p)}(0) = cos(0+\frac{2p\pi}{2}) = cos(\frac{2p\pi}{2}) = cos(p\pi) = (-1)^p

Allez, essaie de faire la 2ème !

Nicolas

Posté par j4p4n3ze (invité)re : taylor lagrange 01-08-05 à 15:24

on trouve cos((2p+1)/2)
=cos(p+1==0 nan?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : taylor lagrange 01-08-05 à 15:27

Tu as des petits soucis de parenthèses dans l'affichage !

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : taylor lagrange 01-08-05 à 15:34

Même si tu l'as résolu, voici au cas où un exemple de résolution de 4°).

On veut montrer :
\forall n\in \mathbb{N} P(n) : f^{(n)}(t) = cos(t+\frac{n\pi}{2})

P(0) est vraie.

Supposons P(n) vraie pour un n donné et tentons de montrer que P(n+1) vraie.

f^{(n+1)}(t)
=[f^{(n)}(t)]'
=[cos(t+\frac{n\pi}{2})]'
=(t+\frac{n\pi}{2})'.[-sin(t+\frac{n\pi}{2})]
=-sin(t+\frac{n\pi}{2})
Or -sin x = cos(x+\frac{\pi}{2})
donc :
f^{(n+1)}(t)
=cos(t+\frac{n\pi}{2}+\frac{\pi}{2})
=cos(t+\frac{(n+1)\pi}{2})
ce qu'il fallait démontrer : P(n+1) vraie

Posté par j4p4n3ze (invité)re : taylor lagrange 01-08-05 à 15:34

=cos(p+1)=0 c'est cela?
Et pour les autres question comment je peux faire,

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : taylor lagrange 01-08-05 à 15:37

Non, c'est pas encore ça.
cos(\pi p+1) n'est pas égal à 0.
Prends l'exemple de p=0. On a alors cos(1), qui n'est pas nul.
Comment as-tu fait tes calculs ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : taylor lagrange 01-08-05 à 15:41

A nouveau, il te suffit de... remplacer.
f^{(2p+1)}(0)=cos(0+\frac{(2p+1)\pi}{2})=...
et ensuite ?

Posté par j4p4n3ze (invité)re : taylor lagrange 01-08-05 à 15:47

=cos(p+)?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : taylor lagrange 01-08-05 à 15:52

Toujours pas !

f^{(2p+1)}(0)=cos(0+\frac{(2p+1)\pi}{2})=cos(\frac{2p\pi + \pi}{2})=cos(p\pi+\frac{\pi}{2})=0

non ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : taylor lagrange 01-08-05 à 15:53

Qu'est-ce qui te gêne ?
Si tu postes les détails de ton calcul, on pourra mieux t'aider.

Posté par j4p4n3ze (invité)re : taylor lagrange 01-08-05 à 15:59

ah mede j'ai fait une erreur bête:

(2p+)=pi p +pi erreur de ma part

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : taylor lagrange 01-08-05 à 16:03

Attaquons la 6°)

Tu te rappelles la définition de Taylor-Lagrange ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : taylor lagrange 01-08-05 à 16:06

Soit f une fonction définie et m fois dérivable sur [a,b], (m+1) fois dérivable sur ]a,b[, alors il existe un réel c de ]a,b[ tel que :
f(b) = f(a) + \frac{b-a}{1!}f'(a)+...+\frac{(b-a)^m}{m!}f^{(m)}(a)+\frac{(b-a)^{m+1}}{(m+1)!}f^{(m+1)}(c)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : taylor lagrange 01-08-05 à 16:08

Comme le propose ton énoncé, je suggère que tu l'appliques à f avec :
a=0
b=x
m=2n+1
(N'oublie pas de vérifier que les conditions du théorème sont vérifiées.)

Posté par j4p4n3ze (invité)re : taylor lagrange 01-08-05 à 16:10

soit f une fonction de classe Cn+1 sur l'intervalle [a;b] de R. Soit m et M les valeur min et max de sa derivée (n+1)ième.

etc...la formule est devant mes yeux mais j'ai du mal avec le latex

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : taylor lagrange 01-08-05 à 16:15

OK. Essaie de faire ce que je t'ai proposé au-dessus.

Posté par j4p4n3ze (invité)re : taylor lagrange 01-08-05 à 16:22

je tente

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : taylor lagrange 01-08-05 à 16:38

Où en es-tu ?

La fonction f=cos est dérivable autant de fois que l'on veut (à mon époque, on disait C^\infty) sur \mathbb{R}

On lui applique la formule de Taylor Lagrange entre 0 et x à l'ordre 2n+1.

Il existe un réel c de ]0,x[ tel que :
f(x) = f(0) + \frac{x-0}{1!}f'(0)+...+\frac{(x-0)^{2n+1}}{(2n+1)!}f^{(2n+1)}(0)+\frac{(x-0)^{2n+2}}{(2n+2)!}f^{(2n+2)}(c)
C'est-à-dire :
cos(x) = f(0) + \frac{x}{1!}f'(0)+...+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}f^{(2n+1)}(0)+\frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}f^{(2n+2)}(c)
cos(x) = \Bigsum_{k=0}^{2n+1} \frac{x^k}{k!}f^{(k)}(0)+\frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}f^{(2n+2)}(c)

Maintenant, que remarques-tu ? (en utilisant la question précédente)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : taylor lagrange 01-08-05 à 16:53

J'imagine que tu as avancé...

On sait que f^{(2p)}(0)=(-1)^p et f^{(2p+1)}(0)=0
Donc la moitié des termes de la somme ci-dessus sont nuls, tous ceux de la forme

\frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!}f^{(2p+1)}(0)
Il ne reste dans la somme que les termes de la forme \frac{x^{2p}}{(2p)!}f^{(2p)}(0)

Plus rigoureusement...
On a vu que :
cos(x) = f(0) + \frac{x}{1!}f'(0)+...+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}f^{(2n+1)}(0)+\frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}f^{(2n+2)}(c)
= \Bigsum_{k=0}^{2n+1} \frac{x^k}{k!}f^{(k)}(0)+\frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}f^{(2n+2)}(c)
Dans la somme, on sépare les termes d'indice pair et les termes d'indice impair :
cos(x)= \Bigsum_{p=0}^{n} [\frac{x^{2p}}{(2p)!}f^{(2p)}(0)+\frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!}f^{(2p+1)}(0) ] +\frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}f^{(2n+2)}(c)
= \Bigsum_{p=0}^{n} [\frac{x^{2p}}{(2p)!}(-1)^p+\frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!}0 ] +\frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}f^{(2n+2)}(c)
= \Bigsum_{p=0}^{n} \frac{x^{2p}}{(2p)!}(-1)^p +\frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}f^{(2n+2)}(c)
Donc :
cos(x)- \Bigsum_{p=0}^{n} \frac{x^{2p}}{(2p)!}(-1)^p = \frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}f^{(2n+2)}(c) (*)

Le travail n'est pas encore fini. Comment peut-on conclure ?

Posté par j4p4n3ze (invité)re : taylor lagrange 01-08-05 à 17:01

j'ai réussi jusqu'a ton premier poste...Je suis un peu plus lent que toi lol

Posté par j4p4n3ze (invité)re : taylor lagrange 01-08-05 à 17:03

par contre je comprend pquoi f(c) et pas f(a) a la fin de tes egalité

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : taylor lagrange 01-08-05 à 17:13

C'est la définition même de Taylor Lagrange : il existe un c tel que... (cf 16h06)
Tu as une autre définition sous les yeux ?

Posté par j4p4n3ze (invité)re : taylor lagrange 01-08-05 à 17:25

nan c  bon j'ai compris excuse

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : taylor lagrange 01-08-05 à 17:27

Pas de souci ! Continue... La fin est plus facile...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : taylor lagrange 01-08-05 à 17:53

j4p4n3ze, je dois me coucher. (J'habite en Chine, et le décalage horaire est de +6h.)

Je te mets un exemple de solution de la suite ci-dessous. Je te conseille de ne pas tout regarder tout de suite, mais de continuer à chercher par toi-même : c'est ainsi qu'on progresse !

fin du 6°)

On a vu que :
cos(x)- \Bigsum_{p=0}^{n} \frac{x^{2p}}{(2p)!}(-1)^p = \frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}f^{(2n+2)}(c) (*)
Or f^{(2n+2)}, dérivée (2n+2)ième de cos, est soit un cos, soit un sin (en fait, c'est un cos), donc, dans tous les cas :
-1 \le f^{(2n+2)}(c) \le 1
On multiple cette inégalité par \frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!} qui est positif puisque x est positif (énoncé) :
-\frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!} \le \frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}f^{(2n+2)}(c) \le \frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}
C'est-à-dire, en substituant grâce à (*) ci-dessus :
-\frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!} \le cos(x)- \Bigsum_{p=0}^{n} \frac{x^{2p}}{(2p)!}(-1)^p \le \frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}


7°)
Comment passer de l'expression de 6°) à celle de 7°) ?
Tout simplement en choisissant x=1 !
-\frac{1}{(2n+2)!} \le cos(1)- \Bigsum_{p=0}^{n} \frac{(-1)^p}{(2p)!} \le \frac{1}{(2n+2)!}
On multiplie l'inégalité par -1 (en n'oubliant pas de changer le sens !)
-\frac{1}{(2n+2)!} \le \Bigsum_{p=0}^{n} \frac{(-1)^p}{(2p)!} - cos(1) \le \frac{1}{(2n+2)!}
On rajoute cos(1) à chaque membre de l'inégalité :
cos(1) - \frac{1}{(2n+2)!} \le \Bigsum_{p=0}^{n} \frac{(-1)^p}{(2p)!} \le cos(1) + \frac{1}{(2n+2)!}
Quand n tend vers +\infty, les membres de gauche et de droite tendent vers cos(1). Donc, par application du "théorème des gendarmes", le membre central aussi :
\lim_{n\to +\infty} \Bigsum_{p=0}^{n} \frac{(-1)^p}{(2p)!} = cos(1)


8°)
On a vu que :
-\frac{1}{(2n+2)!} \le \Bigsum_{p=0}^{n} \frac{(-1)^p}{(2p)!} - cos(1) \le \frac{1}{(2n+2)!}
C'est-à-dire :
\Bigsum_{p=0}^{n} \frac{(-1)^p}{(2p)!} - \frac{1}{(2n+2)!} \le cos(1) \le \Bigsum_{p=0}^{n} \frac{(-1)^p}{(2p)!} + \frac{1}{(2n+2)!} (opérations élémentaires sur les inégalités)
On cherche n tel que \frac{1}{(2n+2)!} \le 10^{-4}
C'est-à-dire : (2n+2)! \ge 10^4
Comme 7!=5040 et 8!=40320, on prend 2n+2=8 c'est-à-dire n=3
Alors : \frac{1}{(2n+2)!} \le 10^{-4} et -10^{-4} \le -\frac{1}{(2n+2)!}
Donc :
-10^{-4} \le \Bigsum_{p=0}^{3} \frac{(-1)^p}{(2p)!} - cos(1) \le 10^{-4}
Donc :
\Bigsum_{p=0}^{3} \frac{(-1)^p}{(2p)!} - 10^{-4} \le cos(1) \le \Bigsum_{p=0}^{3} \frac{(-1)^p}{(2p)!} + 10^{-4}
ce qui est de la forme de la question.
On prend donc :
\alpha = \Bigsum_{p=0}^{3} \frac{(-1)^p}{(2p)!}
\alpha = \frac{1}{1}-\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{6!}
\alpha = \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2.3.4}-\frac{1}{2.3.4.5.6}
\alpha = \frac{6.5.4.3.2-6.5.4.3+6.5-1}{6.5.4.3.2}
\alpha = \frac{389}{720} (peut-être peut-on simplifier, à voir)

On vérifie à la calculatrice :
\frac{389}{720} \approx 0,54027778
\cos(1) \approx 0,54030231

Voilà ! J'espère ne pas avoir fait de fautes de frappe en LaTeX, ou de fautes de raisonnement...

Nicolas

Posté par j4p4n3ze (invité)re : taylor lagrange 01-08-05 à 18:21

merci et bonne nuit...merci beaucoup de ta patience et je vais suivre tes conseilles.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : taylor lagrange 01-08-05 à 19:08

Je viens de relire l'un de tes messages ci-dessus, où tu donnes le début de définition suivant de Taylor :
"soit f une fonction de classe Cn+1 sur l'intervalle [a;b] de R. Soit m et M les valeur min et max de sa derivée (n+1)ième."
Ce n'est pas exactement la même que la mienne (qui venait de ), mais la mise en oeuvre est identique.
Tu as même l'inégalité plus vite.
(les dérivées de cos sont des +- cos ou sin donc m=-1 et M=1)

Nicolas


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