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Niveau Maths sup
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TE : Intégrales et fonctions

Posté par
tealc 07-03-07 à 14:20

Bonjour à tous !

j'ai décidé de vous donner, de temps en temps, des exercices, qui sont des exos de niveaux sup que je donne en colles, et que mes elèves trouvent difficiles (si vous n'en voulez pas, dites le moi, j'arrêterai !)

Soit f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} continue. On définit F : [o,1] \rightarrow \mathbb{R} de la manière suivante :

F(x) = \int_0^1 \min(x,t)f(t)dt

a) Montrer que F est de classe C^2 et calculer F''.
b) En déduire que F(x) = \int_0^x \int_u^1 f(t)dt du

Plusieurs réponses sont surement possibles, alors bon travail

Posté par
lafol Moderateurre : TE : Intégrales et fonctions 07-03-07 à 14:51

Bonjour
b) direct sans faire le a) (hors-sujet, OK)
sur [0,x], min(x,t)=t, sur [x,1], min(x,t) = x
F(x)=\int_0^x tf(t)dt+x\int_x^1f(t)dt.
en intégrant par parties dans la première u(x)=x, u'(x)=1, v'(x)=f(x), v(x)=-\int_x^1f(t)dt
\int_0^x tf(t)dt=[tv(t)]_0^x-\int_0^xv(t)dt=-x\int_x^1f(t)dt-\int_0^xv(t)dt
d'où F(x)=-\int_0^xv(t)dt=\int_0^x\int_t^1f(u)dudt

Posté par
Roulianere : TE : Intégrales et fonctions 07-03-07 à 14:51

Très bonne idée

je chercherai ça ce soir quand je rentrerai du boulot, voire pendant mon trajet

Posté par
lafol Moderateurre : TE : Intégrales et fonctions 07-03-07 à 14:58

pour la première question :
F(x)=\int_0^x%20tf(t)dt-xv(x) avec mes notations précédentes, donc dérivable (intégrale fonction de sa borne sup etc)
F'(x)=xf(x)-v(x)-xf(x)=-v(x), et par conséquent F' dérivable et F''(x)=-f(x)
POur en déduire la deuxième question, il n'y a "plus qu'à" bien choisir où les primitives doivent s'annuler ...

Posté par
tealcre : TE : Intégrales et fonctions 07-03-07 à 17:17

C'est parfait lafol. J'aime beaucoup ta démonstration directe sans passée par la 1) ...

Rouliane : je vais attendre ca

Posté par
tealcre : TE : Intégrales et fonctions 07-03-07 à 23:37

Posté par
Roulianere : TE : Intégrales et fonctions 07-03-07 à 23:46

C'est plus trop intéressant maintenant que j'ai lu la correction

Mais sympa cet exo

Posté par
tealcre : TE : Intégrales et fonctions 07-03-07 à 23:47

c'est vrai ... bon j'en donnerai un beaucoup plus difficile, comme ca ca vous fera reflechir

Posté par
lafol Moderateurre : TE : Intégrales et fonctions 08-03-07 à 17:35

Si tu veux que certains puissent répondre tout en laissant chercher les autres, pose tes questions sur le forum expresso, comme des énigmes "Just For Fun", on pourra répondre en "blanqué"

Posté par
Roulianere : TE : Intégrales et fonctions 08-03-07 à 22:38

Ou alors il suffit que les bons ne répondent pas trop vite


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