Bonsoir turfle

Je ne comprends pas. Dans ton intégrale, il y a bien un x. Pourtant pour la question 1), tu trouves des résultats qui sont indépendants de x.

Kaiser

Bonsoir

Mille excuses c'est l'intégrale de 0 à 1 et non de 0 à x!
Je me suis trompé en recopiant la formule de l'énoncé

Encore désolé...

OK, pas de problème.

Pour la 3), utilise la 2) en commençant par remplacer n par 2k.
Ensuite, en effectuant une nouvelle manipulation tu devrais reconnaître un télescopage.

Kaiser

Bonsoir.

J'ai remplacé n par 2k mais je n'arrive pas à trouver un 2k-1 au dénominateur:
I(2k+2) + I2k = 1/(2k+1)

J'ai essayé de faire -1+1 mais comme c'est au dénominateur ça n'arrange pas l'affaire...

Merci de l'aide.

Qu'à cela ne tienne !
On a 2k+1=2(k+1)-1.

Kaiser

Bonjour! Je crois que passer la nuit à faire des maths éclaircit parfois l'esprit encore que.... Enfin bon!

Nous avons donc I(n+2) = 1/(n+1) - In

Posons n = 2.h , alors la relation devient I(2h+2) = 1/(2(h+1)-1) - I2h

Posons maintenant h+1 = k , alors I(2k) = 1/(2k-1) - I(2k-2)

k=1   I2 + I0 = 1
k=2   I4 + I2 = 1/3
k=3   I6 + I4 = 1/5
.
.
.
k=n  I2n + I2n-2 = 1/(2n-1)

Soustrayons donc les résultats, on obtient : I0 + (-1)^(n-1)(2.I4+2.I6+...+2.I(2n-2)+ I2n) = (de k=1 à n) (-1)^(k-1)/(2k-1)

Jusque là tout va bien je crois... Ensuite j'ai développé I6, I10,... et I2n-2 grâce à la formule de départ à savoir I(n+2) = 1/(n+1) - In.

J'obtiens à présent I0 + (-1)^(n-1).(2/5 + 2/9 + ... + 2/(2n-3) + I2n) = (de k=1 à n) (-1)^(k-1)/(2k-1)

Je devais montrer que Un = pi/4 + (-1)^(n-1).I(2n) où Un est la (de k=1 à n) (-1)^(k-1)/(2k-1)

Or comme I0 = pi/4, j'obtiens Un = pi/4 + (-1)^(n-1).I(2n) + 2.(-1)^(n-1)(1/5    +1/9+...+1/(2n-3))

Il faudrait donc que 2.(-1)^(n-1)(1/5+1/9+...+1/(2n-3))=0 mais je sais pas comment le démontrer...

Merci beaucoup de l'aide

Bonjour turfle

Tu auras à du mal à démontrer que ce truc est nul parce que c'est faux.
En fait, tout va avant "soustrayons...".
En effet, ensuite tu multiplies par une puissance de -1 mais ce qui est étrange c'est que à gauche c'est une puissance constante (n-1) et à droite on se retrouve avec une puissance variable (avec k compris entre 1 et n).
Bref, il faut reprendre à partir de là.

Kaiser

Bonjour! J'ai refait, revu, mais pour le vaincu c'est pas encore sur

J'ai donc repris à partir de soustrayons les résultats et j'obtiens en fait:

I0 - (2.I4+2.I6+...+2.I(2n-2)) - I2n = 1 - 1/3 - 1/5 - ... - 1/(2n-1)

Puis j'ai redévelopper I6, I10,... et I2n-2 grâce à la formule de départ à savoir I(n+2) = 1/(n+1) - In.

Dans l'autre membre j'ai rmarqué que je n'avais pas tout à fait (de k=1 à n) (-1)^(k-1)/(2k-1)  puisque le numérateur est une fois positif, une fois négatif. Donc je modifie un peu et j'obtiens:

I0 - (2/5 + 2/9 + ... + 2/(2n-3)) - I2n = 1 - 1/3 - 2/5 + 1/5 - 1/7 - 2/9 + 1/9 -...- 2/(2n-3) + 1/(2n-3) - 1/(2n-1).

(Pour les 3 derniers je ne suis absolument pas sur, je l'ai seulement déduis du membre de gauche pour que ça s'annule...)

Et donc si tout cela est juste, j'obtiens au final:

pi/4 - I2n =   (de k=1 à n) (-1)^(k-1)/(2k-1)

Par contre je devais trouver pi/4 + (-1)^(n-1)I2n... C'est à cause de n pair ou impair?

Raaahhh c'est un exercice à s'embrouiller les chiffres. Cela dit merci grandement du coup de main ^^!

Vraiment aucune idée???

Bonjour turfle

Pour tout k supérieur ou égal à 1, tu as écris :



Cela se réécrit :



Et là, astuce ! on multiplie les deux membres par

Ensuite, à gauche il faut reconnaitre la différence de deux termes consécutifs d'une certaine suite pour pouvoir passer au téléscopage.

Kaiser