Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

TERMINAL - Spé math

Posté par
Axelauch82
11-12-18 à 21:34

Bonsoir,

J'ai un DM de spé math à rendre pour Jeudi. Ce dernier traite des nombres premiers et je ne parvient pas à comprendre la démarche à suivre et aux résultats que je dois obtenir. Voici l'énoncé :

Soit a et n des entiers naturels non nuls tels que an+1 est premier. On veut montrer que n=2k pour un certain entier k.

1) Supposons que n ne s'écrit pas sous la forme 2k, pour k. Justifier qu'il existe deux entiers naturels p et q tels que n=pq avec premier strictement supérieur à 2 et q un entier naturel.

2) Calculer la somme :

1 - x + x2...+(-1)p-1xp-1

3) En déduire une factorisation de an+1  et montrer qu'il n'est pas premier

4) En déduire que s'il n'est pas premier alors n est de la forme 2k, pour k appartient aux entiers naturels. Comment s'appelle le raissonement mis en oeuvre pour démontrer ce résultat ?


Merci d'avance à ceux qui prendront le temps de m'aider !

Posté par
QuB
re : TERMINAL - Spé math 11-12-18 à 21:57

Bonjour,

Tu n'as aucune piste sur ces 4 questions ?

Posté par
QuB
re : TERMINAL - Spé math 11-12-18 à 22:04

Pour la question 1) :

Si tu supposes que n ne s'écrit pas sous la forme 2^k , k un entier naturel : n peut-il être 0 ? Peut-il être 1, 2 ?

Tu cherches à justifier que tu peux écrire n = pq avec  p > 2 et q des entiers naturels. Comment tu écrirais tu les premiers entiers naturels qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme 2^k simplement ?

Posté par
PLSVU
re : TERMINAL - Spé math 11-12-18 à 22:50

Bonsoir,
énoncé incomplet
n=pq avec p un nombre premier strictement supérieur à 2 et q un entier naturel.

Posté par
Axelauch82
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 13:49

Bonjour Qub et PLSVU,

- En effet j'ai commit une erreur dans l'énoncé merci de me l'avoir fait remarquer !

- Désolé d'annoncer ça mais je n'ai pas vraiment de pistes pour cette exercice par manque de temps mais ce n'est pas le problème. Pour répondre à ta question QuB, voici à quoi j'ai pensé :

On sait que p|n avec p>2 donc il existe un entier q tel que n=pq avec n>q>1. Par suite, q divise n donc :

pq
pq
n
pn

J'ai honnêtement très peu d'idées qui me viennent j'essaie quand même !

Posté par
PLSVU
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 13:59

n=pq    
n peut-il être égale à 2^k?

Posté par
Axelauch82
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 14:04

Si n=pq avec p>2 et est un nombre premier :

n = 3*1
n = 5*1
n = 7*1

Donc n2k

Posté par
PLSVU
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 14:12

tu peux  généraliser
2^k  = k facteurs tous égaux à 2
n= pq   un facteur p   différent de 2
n≠2^k

Posté par
Axelauch82
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 14:16

On remarque que si n est premier alors il admet donc deux diviseurs 1 et lui même. On a donc p=n et q=1. Or si n est premier alors n2 d'où p2.

J'ai proposé toutes mes idées je ne vois d'autres solutions

Posté par
Axelauch82
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 14:18

D'accord je vois, merci !

Posté par
Axelauch82
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 14:43

Concernant la question 2), dois-je utiliser un exemple pour ensuite faire le cas général?

Posté par
PLSVU
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 14:54

2)  tu devrais reconnaitre la somme des termes d'une suite  d'un type connu
tu appliques la formule

Posté par
Axelauch82
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 15:04

Oui, il s'agit d'une suite géométrique de raison x2  en effet mais j'arrive pas à la décomposer

Je pensais mettre d'une coté les carrés paires donc 1 + x2 + x4 ...
et ensuite les carrés impairs de l'autre coté.

Posté par
PLSVU
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 15:06

suite géométrique OUI
raison x2  non

Posté par
Axelauch82
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 15:15

Je voulais parler de la suite que je décompose je me suis mal exprimé ! Sinon il s'agit d'une suite de raison x ?

Posté par
Axelauch82
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 15:16

Plutôt (-1)p-1xp-1 il me semble finalement

Posté par
PLSVU
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 15:21

1-x+x^2-x^3+...............(-1)^(p-1)x^(p-1)
avec p nombre premier (p≠2)

1\times ........=-x
 \\ -x\times ........=x^2

Posté par
PLSVU
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 15:22

1-x+x^2-x^3+...............+(-1)^(p-1)x^(p-1)

Posté par
mathafou Moderateur
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 15:24

bonjour,

des { } autour des exposants quand ils ne sont pas constitués d'un seul caractère

Posté par
PLSVU
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 15:38

oups  merci mathafou

1-x+x^2+........+(-1)^{p-1}x^{p-1}

Posté par
Axelauch82
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 15:39

1 -x = -x
-x -x = x2

A  quoi cela mène?

Posté par
PLSVU
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 15:42

  cela te mène  à trouver la somme des termes
en précisant la raison et le nombre de termes pour pouvoir appliquer la formule  

1-x+x^2+........+(-1)^{p-1}x^{p-1}=\red{.........}

Posté par
Axelauch82
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 15:48

La raison est donc -x et il p-1 le nombre de termes ?

Posté par
PLSVU
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 15:52

  -x pour la raison
faux pour le nombre  de termes
l'écriture du dernier terme peut se simplifier puisque p est un nombre premier
+(-1)^{p-1}x^{p-1}=

Posté par
PLSVU
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 15:52

.+(-1)^{p-1}x^{p-1}

Posté par
mathafou Moderateur
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 15:54

pour le nombre de termes moi je dirais que le premier 1 = (-1)0x0
les termes sont donc "numérotés" de 0 à p-1

Posté par
Axelauch82
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 15:59

Faut-il utiliser la question 1) ? Je ne vois pas par quoi simplifier à part n peut-être ?

Posté par
PLSVU
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 16:02

pour le nombre de terme relis le message de mathafou
que vaut vaut (-1)^{p-1}=...., quand p est  un nombre premier

c'est l'expression de la somme que est utile pour répondre  à la question 3)

Posté par
Axelauch82
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 16:08

(-1)p-1=1 ?

Posté par
PLSVU
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 16:10

OUI
1-x+x^2-x^3+.......+x^{p-1}=\dfrac{.............}{............}

Posté par
Axelauch82
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 16:15

Donc :

\frac{1+x^p}{1+x} ?

Posté par
Axelauch82
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 16:16

http://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\frac{1+x^p}{1+x}

Posté par
Axelauch82
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 16:17

Je suis vraiment pas doué

(1-xp)/(1+x)

Posté par
PLSVU
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 16:24

en retapant tu as fait un erreur de frappe
1-x+x^2-x^3+.......+x^{p-1}=\dfrac{1+x^p}{1+x}  
3) tu en déduis que
x^p+1=............

Posté par
Axelauch82
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 16:31

J'en déduis que :

xp+1= ((1+xp)/(1+x))*(1+x)

Posté par
Axelauch82
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 16:32

L'indice est un exposant désolé..

Posté par
PLSVU
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 16:38

attention
   C≠0
si  A=\dfrac{B}{C}
que vaut B ?
tu appliques
(1-x+x^2-x^3+.......+x^{p-1})=\dfrac{1+x^p}{1+x}  

x^p+1=............

Posté par
Axelauch82
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 16:39

Je viens de me rendre compte de mon erreur :

(1 - x + x2-x3+ .... + xp-1)(x+1)= xp+1

Posté par
PLSVU
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 16:56

OK
      ainsi tu as un factorisation de  x^p+1 , il faut en déduire celle de a^n+1
  sachant que  a^n=a^{qp}
si tu   poses
x=a^q   alors   x^p=(a^q)^p=a^n
a^n+1=(a^q)^p  +1=...........................

Posté par
Axelauch82
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 17:02

= x^p+1

Posté par
PLSVU
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 17:12

il faut  que tu montres une factorisation de a^n+1

a^n+1= (a^q)^p+1= (...........)(..................)

Posté par
mathafou Moderateur
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 17:18

et puis si on a passé autant de temps à démontrer une propriéte de xp+1 c'est tout de même pour l'utiliser !!
on ne s'amuse pas à faire des calculs sans but dans un exo !

Posté par
Axelauch82
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 17:22

= (a+1)(1-a+a^2-a^3+...+a^{n-1})

Posté par
Axelauch82
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 17:26

Je sais bien mathafou

Posté par
PLSVU
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 17:27

non
que vaut x?

Posté par
Axelauch82
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 17:28

x=a^q ?

Posté par
PLSVU
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 17:50

OUI
donc remplace x par (a^q)  dans la factorisation de x^p+1

Posté par
Axelauch82
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 18:02

Ok donc :

a^n+1 = (a^q+1)(1 - a^q+a^{2q}-a^{3q}+ ..... +a^{n-q})

Posté par
PLSVU
re : TERMINAL - Spé math 12-12-18 à 18:22

pour le dernier terme (a^q)^{p-1}       ( qp-q=q(p-1)   le dernier terme est x^p-1
tu en déduis que a^q+1 divise........
  de plus 1<a^q+1<a^n+1
que tu peux-tu en déduire pour a^n+1



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !