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TFI : théorème des fonctions implicites

Posté par
fusionfroide 30-12-06 à 20:39

Salut

Soit 4$S=((x,y,z)\in \R^3 / x^2+y^2+z^2=1)

Montrer que l'appartenance à 4$S au voisinage de 4$(0,0,1) s'exprime à l'aide d'une fonction implicite 4$\phi : V_1 -> Z_1


Ce que j'ai fait :

S est déterminée par l'équation 4$f(x,y,z)=0 avec 4$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1

On a : 4$Jac_{(x,y,z)}=(2x,2y,2z)

Donc 4$Jac_{(0,0,1)}=(0,0,2)  (normalement il n'y a pas de virgules )

Prenons la matrice 4$A=(1) inversible.

D'après le TFI, il existe :

1) un voisinage ouvert V_1 de 4$(0,0) dans 4$\R^2

2) un voisinage ouvert 4$Z_1 de 4$1 dans 4$\R

telle qu'en posant 4$W=V_1 \times Z_1, on a 4$\phi : V_1 -> Z_1 de classe 4$C^{\infty} avec 4$(x,y,z) \in W équivaut à 4$z=\phi(x,y)

Qu'en pensez-vous ?

Ensuite je dois déterminer les ensembles 4$V_1 et 4$Z_1 et dire ceux qu'ils sont !

Et là je bloque !!

Merci

Posté par
stokastikre : TFI : théorème des fonctions implicites 31-12-06 à 11:35


Ben 2$z=\sqrt{1-(x^2+y^2)} non ?

Posté par
stokastikre : TFI : théorème des fonctions implicites 31-12-06 à 11:36


houlala je suis mal réveillé j'oublie le signe

Posté par
stokastikre : TFI : théorème des fonctions implicites 31-12-06 à 11:38

... mais non c'est bon puisque (x,y) au voisinage de (0,0)

Posté par
fusionfroidere : TFI : théorème des fonctions implicites 31-12-06 à 11:45

Salut !

Mais que sont les ensembles V_1 et Z_1 ?

Posté par
fusionfroidere : TFI : théorème des fonctions implicites 31-12-06 à 12:04

En fait je me demande si choisir la matrice 1\times 1 a une implication sur la forme de la fonction implicite...

Posté par
stokastikre : TFI : théorème des fonctions implicites 31-12-06 à 12:33


Ben pour V1 tu prends un voisinage de (0,0) où \phi(x,y)=\sqrt{1-(x^2+y^2)} est bien définie.

Posté par
fusionfroidere : TFI : théorème des fonctions implicites 31-12-06 à 12:56

Désolé d'insister, mais ça peut-être quoi par exemple ?

Un disque ?

Posté par
stokastikre : TFI : théorème des fonctions implicites 31-12-06 à 13:18


Ben par exemple l'ensemble V_1=\{(x,y) | x^2+y^2<1\} convient oui tu vois bien pourquoi non ??

Posté par
fusionfroidere : TFI : théorème des fonctions implicites 31-12-06 à 13:22

Oui d'accord merci !
A+

Posté par
fusionfroidere : TFI : théorème des fonctions implicites 31-12-06 à 13:23

Et si je veux un voisinage de 1, je peux prendre un cercle de rayon 1 et de centre 0 non ?

Posté par
fusionfroidere : TFI : théorème des fonctions implicites 31-12-06 à 14:46

Ok j'ai trouvé merci !

Posté par
stokastikre : TFI : théorème des fonctions implicites 31-12-06 à 16:12


Pour Z1 tu peux prendre carrément je crois.


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