Salut!
C'est effectivement le théoreme de Riesz qui assure cela, si la boule unité est précompacte, alors l'espace est de dimension finie.

ah... oserai-je alors demander quelques explications un peu plus précises, car dans ce cas mon prof démontre le thm de Riesz avec le thm de Riesz ce qui me poserai un peu problème.

Ah oui, c'est problematique!
Ce que j'appelle théorèmpe de Riesz personellement, c'est le résulata suivant.
Dans un espace vectoriel normé sur un corps valué complet la boule unité fermée est compacte ssi la dimension de l'espace est finie.
Est ce que tu connais ce resultat?

Non je l'ai jamais vu tel quel voici les thm que j'ai ou le nom de Riesz apparaît:
Il y a le thm de Riesz-Schauder:
Soit un opérateur compacte, avec V Banach, alors a les propriétés suivantes:
1)
2) est fermé dans
3)
4) (ou ' dénote le dual)
Et le thm de Riesz:
Soit V Banach, compacte alors
1) si alors
2) Tout est une valeur propre de T et est fermé et
3)est au plus dénombrable et est dicrest
4) on peut séparer V en deux sous esp vect avec des propriétés sympas

Et en me relisant j'ai eu ma réponse je crois car on alors et du coup par le thm de Riesz-Schauder 1), , merci pour l'aide

T vas bien sure de V dans V et pas de v dans V.

J'en profite pour te poser un autre petite questions si j'ose, sous quelle condition peut-on dire que la boule unité d'un espace normé est convexe?

Oui, c'est une facon de voir les choses.
Cela dit je pense que le resultat que j'ai mentionne (dont la preuve n'est pas difficile) doit etre dans ton cours, et qu'il doit etre utilisé pour prouver ton théorème de Riesz-Schauder (comment prouve tu le 1)?)

La boule unité d'un espace normé est toujours convexe (par l'inégalité triangulaire).

Malheureusement, le type qui a écris le polycopié (inofficiel) du cours n'a pas écris la preuve du thm (et j'ai aucune idée d'où se trouve la feuille ou je l'ai écris car l'ordre n'est malheureusement pas mon fort)... donc je ne pourrai pas te répondre avant quelques jours... mais je ferai. Et merci pour la convexité, ça fait plaisir à entendre .

Comme je te disais je pense que la preuve fait appel a ce petit lemme.
Tiens voici une démo du lemme.
Suppose que la boule unité, B, d'un espace vectoriel normé sur un corps complet (prends R si tu veux) est précompacte.
Alors soit epsilon=1/2 et x_1,...,x_N des elements de la boule telle que la reunion des B(x_i,1/2) recouvre ta boule B.
Soit F l'espace engendré par les x_i, alors B est inclus dans F+1/2.B, et par une recurrence imédiate B est inclus dans F+1/2^n.B pour tout n, donc dans l'intersection des F+1/2^n.B, mais ce truc c'est facile de voir que c'est precisement l'adherence de F, or F est de dim finie, donc complet et donc fermé pour la norme induite, et donc l'adherence de F c'est F, donc B inclus dans F, et donc F est l'espace tout entier.
Maintenant on prouver ton 1) de la manière suivant.
Si T est compact alors la boule unité du noyau de 1-T est inclus dans T(B), qui est compacte, donc la boule unité (fermée) du noyau de 1-T est un fermé d'un compact donc compacte, donc le noyau de 1-T est de dim finie.

Je coince au moment de la récurrence pour être honnête la première étape me semble logique mais la suivante je vois pas car on a recouvrement de boules de rayon 1/2 et donc entre deux centres il y a au plus une distance de 1, que l'on peut combler avec le 1/2.B mais avec 1/4 je vois pas trop comment ça marche... A part ça merci encore pour toutes ces réponses.

Bas tu as B inclus dans F+B/2
Mais donc B/2 est inclus dans F+B/4, donc B inclus dans F+B/4 (en reinjectant dans la première relation) etc...

effectivement j'avais pas vu le problème comme ça, mais ça paraît beaucoup plus claire d'un coup, merci.
Si tu as le courage, j'ai encore une "petite" question dans le genre, une grande partie de mon cours est vouée au espaces réflexifs on voit pleins de moyens de montrer qu'un espace est réflexif mais dans le fond (je dirai conceptuellement parlant) pourquoi c'est tant important qu'un espace soit réflexif?

Bonjour.

Dans un espace réflexif, on peut extraire de toute suite bornée une sous-suite faiblement convergente. C'est un résultat essentiel dans la pratique.

Par exemple, ça permet très facilement de montrer que certains problèmes d'optimisation possèdent une solution.

Pour le théorème de Riesz, il existe d'autres preuves, dont une qui repose sur une méthode proche de l'orthonormalisation de Gram-Schmidt. Voir par exemple la page Wikipédia :