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théorème d échalonnage de Shannon

Posté par matou (invité) 15-02-06 à 23:25




  Salut,

  voici 2 questions que je n'arrive pas à résoudre:

Soit E le R-espace vectoriel des fonctions paires nulles en dehors du segment [- ;] et de classe C1. Soit f E, et on définit la transformée de Fourier par
  ^f(x)= f(t)e-ixtdt


  1. montrer que ^f est paire, de classe C sur


  2.  montrer que pour tout x [- ;]  f(x)=(1/(2))(^f(0)+2n=1 ^f(n) cos(nx) ).


Pour la question 1. , je n'arrive pas à montrer que la fonction est paire mais pour montrer que ^f est C j'ai une démo dans mon cours qui utilise le fait que tl f(t)  est sommable avec l compris entre 1 et l'infini. Est ce correct?


Pour la question 2. je ne suis pas arrivé à trouver le résultat attendu mais j'ai trouvé que   f(x) = (1/(2))(^f(0)+2n=1 ^f(n) einx ).



                                                    Merci d'avance, Au revoir
                                                             MATH

Posté par
Youpire : théorème d échalonnage de Shannon 15-02-06 à 23:44

Pour la parité :
comme f est  nulle en dehors du segment [-\pi ;\pi] alors:
3$ \tilde{f}(x)=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-ixt}dt
donc:
3$ \tilde{f}(-x)=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{ixt}dt
on pose u=-t donc du=-dt
3$ \tilde{f}(-x)=-\int_{\pi}^{-\pi}f(-u)e^{-ixu}du
3$ \Longleftrightarrow \tilde{f}(-x)=\int_{-\pi}^{\pi}f(-u)e^{-ixu}du
or comme f \in E,  f(-u)=f(u) donc
3$ \tilde{f}(-x)=\int_{-\pi}^{\pi}f(u)e^{-ixu}du
3$ \Longleftrightarrow \fbox{\tilde{f}(-x)=\tilde{f}(x)}

Posté par
matheux2006re: théorème d échalonnage de Shannon 15-02-06 à 23:46

bonsoir,
pour montrer que ^f est paire, après avoir remplacer x par -x, il faut effectuer le changement de variable
t'= - t

Posté par
Youpire : théorème d échalonnage de Shannon 16-02-06 à 00:15

Je ne suis pas sûre mais je pense que pour le 2) tu peux partir de:
\tilde{f}(x)=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-ixt}dt=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)(cos(xt)-isin(xt))dt=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)cos(xt)dt+i\int_{-\pi}^{\pi}f(t)sin(xt)dt
or f(t)sin(xt) est impair sur [-\pi;\pi] d'où \int_{-\pi}^{\pi}f(t)sin(xt)dt=0
ainsi \tilde{f}(x)=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)cos(xt)dt
et ensuite tu dois pouvoir arriver au résultat demandé

sauf erreur.

Posté par matou (invité)théorème d échalonnage Shannon 16-02-06 à 19:30



  Salut ,

Pour la question 2., n'est-il pas plus facile d'utiliser les coefficients de Fourier.
Pour la question 1. , je ne suis pas sûr de ma réponse pour prouver que la fonction est C (voir ma première réponse).

                                    
                                               Merci d'avance, Au revoir
                                                        MATH

Posté par
kaiser Moderateurre : théorème d échalonnage de Shannon 16-02-06 à 19:43

Bonsoir matou

Tu as raison pour la question 2) :
Considérons la fonction g définie sur \mathbb{R} 2\pi -périodique qui coïncide avec f sur l'intervalle [-\pi ,\pi].
g est alors clairement C^{1} par morceaux et continue donc la série de Fourier de g converge simplement vers g.
par ailleurs, on a C_{n}(g)=C_{n}(f)=\hat{f}(n).
donc pour x appartenant à l'intervalle [-\pi ,\pi], on a l'égalité \f(x)=\bigsum_{n=-\infty}^{+\infty}\hat{f}(n)e^{inx}

Ensuite, par parité de \hat{f}, regroupe les termes par deux.
D'ailleurs, il me semble que la formule que tu as proposée est fausse.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : théorème d échalonnage de Shannon 16-02-06 à 19:45

c'est écrit beaucoup trop petit !!

Je voulais dire \large{f(x)=\bigsum_{n=-\infty}^{{+\infty}}\hat{f}(n)e^{inx}} .

Posté par
Youpire : théorème d échalonnage de Shannon 16-02-06 à 20:11

Bonjour Kaiser et Matou,

en fait ce que j'ai fait hier c'était pour montrer que les coefficients de Fourier de f étaient:
a_n(f)=\frac{1}{\pi}\widehat{f}(n) et b_n(f)=0
et comme 3$ S(f)(x)=\frac{a_0(f)}{2}+\bigsum_{n=1}^{+\infty}a_n(f)cos(nx)+b_n(f)sin(nx)
le reste coule de source...  a moins que n'ai fait une erreur quelque part !

Posté par
kaiser Moderateurre : théorème d échalonnage de Shannon 16-02-06 à 21:03

bonsoir Youpi

ce que tu as fait est correct !
En fait, on s'est un peu affolés pour rien parce qu'on n'a pas vu écrits les mots "coefficients de Fourier" dans ton message !
par contre, moi, je me rends compte que j'ai oublié des facteurs \large{2\pi} dans mon dernier message.

kaiser

Posté par matou (invité)théorème d échalonnage de Shannon 17-02-06 à 16:24



  Salut,


Je n'arrive pas à prouver que ^f est C.


                                                      Merci d'avance, Au revoir
                                                               MATH

Posté par
kaiser Moderateurre : théorème d échalonnage de Shannon 17-02-06 à 16:34

Bonjour matou

Utilise le théorème de dérivation sous le signe intégrale.

Kaiser

Posté par matou (invité)théorème de Shannon 17-02-06 à 16:42



  Salut KAISER,

Qu'appelles-tu théorème de dérivation?


  MATH

Posté par
kaiser Moderateurre : théorème d échalonnage de Shannon 17-02-06 à 16:43

tu es en sup ou en spé ?

Posté par matou (invité)théorème de Shannon 17-02-06 à 16:51



  je suis en spé mais c'est peut-être le nom du théorème que je ne connais  pas , dans mon cours il est peut-être appelé autrement.

Posté par
kaiser Moderateurre : théorème d échalonnage de Shannon 17-02-06 à 16:52

On le connaît aussi sous le nom de règle de Leibniz.
ça te dit quelque chose ?

Posté par matou (invité)théorème de Shannon 17-02-06 à 17:16



  Salut KAISER,


Je ne retrouve pas ce théorème dans mon cours. Désolé......



                MATH
  

Posté par
kaiser Moderateurre : théorème d échalonnage de Shannon 17-02-06 à 17:19

Dans ton premier message, tu disais que dans ton cours qu'il y avait une démonstration s'appuyant sur le fait que tt^{k}f(t) était sommable.
Quel théorème est appliqué dans ce cas ?

Posté par matou (invité)théorème de Shannon 17-02-06 à 17:53



  Dans mon cours ce théorème s'appelle dérivabilité de la transformée de Fourier.

Posté par
kaiser Moderateurre : théorème d échalonnage de Shannon 17-02-06 à 17:55

Ben alors, il suffit d'appliquer ce théorème.

Posté par matou (invité)fonctions périodiques 17-02-06 à 18:03



  C'est ça mon problème: l'application de ce théorème.
  Je sais que par hypothèse f(t) est sommable car il existe une transformée de Fourier. Mais je ne vois pas comment montrer cela pour tk f(t).

Posté par
kaiser Moderateurre : théorème d échalonnage de Shannon 17-02-06 à 18:16

N'oublie pas f est nulle en dehors de l'intervalle [-\pi ,\pi ].

Posté par matou (invité)théorème d échalonnage de Shannon 22-02-06 à 11:09



  Salut KAISER,

Faut-il dire que f n'est sommable que sur [-,] ?



                                             Merci d'avance, Au revoir
                                                        MATH

Posté par
kaiser Moderateurre : théorème d échalonnage de Shannon 22-02-06 à 21:03

Bonsoir matou

f est sommable sur \large{\mathbb{R}} tout entier mais en fait, comme je le disais, f étant nulle en dehors du segment \large{[-\pi,\pi]}, on ne doit s'intéresser qu'à l'intégrale sur ce segment.
Par ailleurs, f étant de classe C^{1} (en particulier, elle est continue), on a pour tout entier k, t\large{t^{k}f(t)} est continue sur ce segment et, par conséquent, sommable.

Kaiser


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