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Théorème d'Egorov

Posté par
fusionfroide 13-03-07 à 22:54

Salut

Enoncé :

Soit 4$(X,\tau,m) un espace mesuré fini : 4$m(X) < +\infty
On considère une suite de fonctions mesurables 4$f_n : X->\mathbb{R} convergeant simplement vers une fonction 4$f : X->\mathbb{R}.
Alors pour tout 4$\epsilon>0, il existe 4$A_{\epsilon} \in \tau tel que 4$m(X/A_{\epsilon})\le \epsilon et tel que 4$(f_n)_n converge uniformément sur 4$A_{\epsilon} vers 4$f.

En fait ceci est le théorème d'Egorov

Question :

Pour tout entier 4$k \ge 1 fixé, on pose 4$A_{n,k}=\cup_{j\ge n}\{|f_j-f|>\frac{1}{k}\}

Montrer que la suite 4$m(A_{n,k})_n est décroissante et tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème d'Egorov 13-03-07 à 22:56

re fusionfroide

Où ça coince exactement ? La décroissance c'est bon ou pas ?

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorème d'Egorov 13-03-07 à 23:00

Re kaiser,

Non ça coince dès le départ.

Donc déjà comme m est une mesure, en prenant la mesure des A_(n,k), l'union devient une somme ?

Je vais me doucher je reviens de suite

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème d'Egorov 13-03-07 à 23:05

Citation :
Donc déjà comme m est une mesure, en prenant la mesure des A_(n,k), l'union devient une somme ?


Cette union n'est pas forcément disjointe !
Ici, tu ne pourras pas prouver la décroissance en calculant la mesure de ce truc.
En fait, quelle condition sur A et B suffit-il d'avoir pour que \Large{m(A)\leq m(B)} ? (où A et B sont des mesurables)

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorème d'Egorov 13-03-07 à 23:21

De retour après une bonne douche

Donc il suffit que 4$A \subset B

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème d'Egorov 13-03-07 à 23:23

c'est bien ça !
Ici, est-ce le cas ?

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorème d'Egorov 13-03-07 à 23:27

Euh les deux ensembles sont d'une part 4$\cup_{j\ge n}\{|f_j-f|>\frac{1}{k}\} mais pour l'autre ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème d'Egorov 13-03-07 à 23:29

On veut montrer que la suite est décroissante donc quelle est l'inégalité que l'on souhaite montrer ?

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorème d'Egorov 13-03-07 à 23:37

d'accord j'ai compris !

On veut montrer que 4$m(A_{n+1,k})_{n+1}-m(A_{n,k})_n \le 0

Ici, on a : 4$A_{n+1,k} \subset A_{n,k}


Donc les deux ensembles à considérer sont 4$A_{n+1,k} et 4$A_{n,k}

Posté par
robby3re : Théorème d'Egorov 13-03-07 à 23:39

Bonsoir tout les deux...je lisais comme ça par curiosité et je me demandais si "pour l'autre" c'était pas An+1,k ??
parce que vous chercher à montrer que An+1,k<An,k non...?

Posté par
robby3re : Théorème d'Egorov 13-03-07 à 23:40

oups pardon fusionfroide,j'avais pas vu t'avais posté juste avant moi...

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème d'Egorov 13-03-07 à 23:40

oui c'est tout à fait ça !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorème d'Egorov 13-03-07 à 23:40



Salut robby

Toi aussi tu bosses tard ?

Posté par
fusionfroidere : Théorème d'Egorov 13-03-07 à 23:41

D'accord kaiser merci

Donc on a bien prouver la décroissance !

Et pour la limite ? Il faut déjà montrer qu'elle existe non ?

Donc il faut montrer que les 4$(A_{n,k})_n est minorée ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème d'Egorov 13-03-07 à 23:44

Une suite d'ensemble minorée ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Théorème d'Egorov 13-03-07 à 23:44

(oui je boss tard,j'ai un ds d'algebre samedi et je galere encore...je vous laisse continuer lool,j'ai déja assez à faire avec mes problemes)
Bonne continuation et bone fin de soirée à tout les deux

Posté par
fusionfroidere : Théorème d'Egorov 13-03-07 à 23:45

Citation :
Une suite d'ensemble minorée ?


Ou ça veut rien dire

une piste ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème d'Egorov 13-03-07 à 23:47

Tu as montré que la suite \Large{(m(A_{n,k})_{n})} est décroissante, donc que faut-il avoir en plus pour s'assurer de sa convergence ?

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorème d'Egorov 13-03-07 à 23:51

Ah pardon !!

Il faut montrer que 4$\Large{(m(A_{n,k})_{n})} est minorée

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème d'Egorov 13-03-07 à 23:52

et est-ce difficile de voir que c'est effectivement minorée ?

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorème d'Egorov 13-03-07 à 23:55

Non du tout !



Donc on a bien l'existence d'une limite.

Peux-tu me donner une piste pour montrer que la limite est nulle avant de me coucher  ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème d'Egorov 13-03-07 à 23:58

On peut déterminer la limite en utilisant un théorème du cours sur les limites de mesure d'ensembles (ça doit être un des premiers résultats importants que tu as dû voir sur les mesures).

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorème d'Egorov 13-03-07 à 23:59

Oui je vois de quoi tu parles !

Je te remercies kaiser !

Je reviendrai demain.

Là

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème d'Egorov 14-03-07 à 00:00

OK, bonne nuit !


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